Учебное пособие по математике

 

Изобретение относится к демонстрационным приборам и может быть использовано при изучении теории линейного программирования и позволяет расширить дидактические возможности известного, улучшить наглядности обучения. Сущность 2 изобретения состоит п наличии дополнительного средства моделирования линейных функций двух переменных в виде прозрачной пластины для представления целевой функции, имеющей стрелочный указатель направления возрастания или убывания целевой функции, и ползунокимитатор линии равного значения, а также в наличии набора модифицированных по форме прямых, усеченных призм для имитации проекционной связи области допустимых решений с соответствующей зоной на целевой функции.13 ил.

СОЮЗ СОВЕТСКИХ

СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ

РЕСПУБЛИК (s>)s G 09 В 23/02

ГОСУДАPСТВЕННОЕ ПАТЕНТНОЕ

ВЕДОМСТВО СССР (ГОСПАТЕНТ СССР) ОПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИ

К АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ (21) 4815026/12 (22) 18,04.90 (46) 30.01,93. Бюл, N 4 (72) В,А. Свиридов (56) Авторское свидетельство СССР

М 746695, кл. G 09 В 23/02, 1980, (54) УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ (57) Изобретение относится к демонстрационным приборам и может быть использовано при изучении теории линейного программирования и позволяет расширить дидактические воэможности известного, улучшить наглядности обучения. Сущность

Изобретение относится к демонстрационным приборам, в частности к средствам обучения, и может быть использовано при изучении математики в высших учебных заведениях.

Известно учебное пособие по математике, выбранное в качестве прототипа, содержащее коробку с прозрачным планшетом, окантованным намагниченным материалом, на котором нанесена прямоугольная система координат, источник света, набор прозрачных пластин, каждая из которых имеет намагниченную Kp(.мку,стержень, шарнирно закрепленный на планшете в начале координат, и планку, c,âoáoäío установленную на стержне перпендикулярно ему, Пособие позволяет иллюстрировать метод градиента решения задач линейного программирования.

Недостатком известной конструкции является отсутствие зримой модели целевой функции, что значительно сужаетдидактические возможности пособия, Обучаемые не могут наблюдать проекционную связьоб„, .Ю„„ l79184Q Al изобретения состоит в наличии дополнительного средства моделирования линейных функций двух переменных в виде прозрачной пластины для представления целевой фучкции, имеющей стрелочный указатель направления возрас . ания или убывания целевой фу>. Кции, и ползунокимитатор линии равного значения, а также в наличии набора модифицированных по форме прямых, усеченных призм для имитации проекционной связи области допустимых решений с соответствующей зоной а целевой функции. 13 ил. ласти допустимых решений с соответствующей зоной на целевой функции, не могут видеть возрастание (убывание) целевой функции и точку ее экстремума, В силу этого, учебное пособие не позволяет иллюстрировать многие ключевые положения теории линейного программирования.

Целью изобретения является расширение дидактических возможностей пособия и улучшение наглядности обучения путем обеспечения возможности демонстрации понятия целевой функции,, Указанная цель достигается при помощи прозрачной пластины для моделирования целевых функций, а также при помощи прямых, усеченных призм, имитирующих проекционную связь определенной области допу-. стимых решений с соответствующей зоной на целевой функции, Сопоставительный анализ с прототипом позволяет сделать вывод, что заявляемое учебное пособие отличается тем. что оно имеет средство моделирования линейных функций двух переменных в виде прозрачной пластины для

1791840

r!редставления целевой функции, имеющей стрелочный указатель направления возрастания или убывания целевой функции и ползунок — имитатор линии равного значения, и набор модифицированных по форме прямых. усеченных призм для имитации проекционной связи области допустимых решений с соответствующей зоной на целевой функции, предназначенных для установки на планшете, закрепляемых на основании и на пластинах, имеющих намагниченную кромку, при этом прозрачная пластина для представления Целевой функции установлена на планшете посредством оси, расположенной в начале координат, а основания призм имеют намагниченный участок для закрепления на пластинах, На фиг,1 показано пособие, вид спереди; на фиг.2 — то же, вид слева; на фиг,3 — то же, вид сверху; на фиг.4 — разрез А-А на фиг.2; на фиг,5 — проектный расчеттреуголь.ной призмы; на фиг.б — набор из трех треугольных призм; на фиг.7 — вид по стрелке Б на фиг,б; на фиг,8 — взаимодействие элементов пособия при определении совокупности неотрицательных переменных х1 и х2 в конкретной задаче линейного программирования; на фиг.9 — поворот пластины до

coBM8LLIения стрелочного указателя с направлением стержня; на фиг.10 — поворот пластины вокруг оси на угол /1; на фиг,l 1— положение стержня вне области допустимых решений; на фиг.12 — установка треугольной призмы на планшете; на фиг.13фиксация точки максимума целевой функции.

Чстройство содержит коробку 1 с прозрачным планшетом 2, на котором нанесена прямоугольная система координат 3, источник света 4, шарнирно закрепленный на планшете в начале координат стержень 5, планку 6, свободно установленную на стержне перпендикулярно ему, и набор пластин 7. Прозрачный планшет 2 имеет намагниченну а окантовку (на фиг.3 окантовка показана жирными линиями), каждая из прозрачных пластин 7 имеет намагниченную кромку (на фиг.8 намагниченные кромки показаны жирны ли линия ли). Намагнич HHBA окантовка и намагниченные кромки предназначены для фиксации прозрачных пластин 7 на прозрачном планшете 2.

Кроме стержня 5, в начале координат шарнирно крепится ось 8, вокруг которой может поворачиваться прямоугольная прозрачная пластина 9, моделирующая целевые функции двух переменных. На пластине

9 нарисован стрелочный указатель (пакаэывает возрастание или убывание целевой

55 функции), пересекающий начало координат и направленный по нормали к оси 8. На пластине 9 имеется ползунок 10 — имитатор линии равного значения линейной формы, Пособие снабжено набором модифицированных по форме прямых, усеченных призм с основаниями, имеющими намагниченный участок. Намагниченные участки служат для закрепления призм на прозрачных пластинах 7.

Стержень 5 предназначен для показа направления градиента целевой функции, а планка б — для показа линий уровня целевой функции, Моделируя целевые функции и располагая набором призм с необходимой модификацией формы, можно осуществлять наглядную геометрическую интерпретацию задач линейного программирования в трехмерном пространстве, иллюстрируя в процессе обучения многие ключевые поло>кения теории линейного программирования, Круг дидактических задач при этом не ограничивается и мажет быть расширен обучающим. Соответственно, пополняемым будет и набор модифицированных по форме прямых, усеченных призм, Пусть, например, перед обуча1ощим стоит дидактическая задача: показать, что решение задачи лине1ного программирования

7 = с1х1 + с2х2 бах а11x1+ аl2x2 25 Ь1

321X1+ 322X2 = Ь2 аэ1х1 + а32х2 Ьз находится в одной из вершин многоугольника допустимых решений. Требуется показать также, что линейная форма одного вида достигает максимума в какой-то одной вершине области допустимых решений, а линейная форма другOI о вида — в другой вершине. Обучаемым необходимо, кроме того, продемонстрировать существование множества решений, Эти сложные дпя умозрительного понимания вопросы можно рассмотреть, имея в наборе модифицированных по форме призм три треугольные призмы чьи основания идентичны одной и тай же области допустимых решений, а наклоны верхних граней различны и соответствуют неодинаковому наклону к началу координат трех неодинаковых целевых функций.

Размеры, необходимые для изготовления призм, можно определить, выполнив проектный расчет, который заключается в следующем, Вначале задаются целесообразной совокупностью неотрицательных переменных

1791840 х — x) хf — X) Х2=х z-Кх1;

1 х

X1 =-—

dZ1 dZ1

tg а= — / ох2 dx1 (7) 40

tg j3=2,8/( откуда P = 59,2О.,1 = 1,68, 45

В положении, близком к горизонтальному, поворачивают пластину 9 вокруг шарнира так, чтобы нарисованный на пластине 9 стрелочный указатель совпал с направлени50 ем стержня 5. Затем пластину 9 поворачивают вокруг оси 8 на угол P — угол наклона целевой функции к началу координат, В этом положении прозрачная пластина 9 представляет линейную целевую функцию

55 Z1= 1,27xt+1,1 х2.

Поворачивая стержень 5, устанавливают его так, чтобы он не пересекал область допустимых решений. На планшет 2 устанавлива1от призму, соответствующую целевой функции 21 = 1,27 х1+ 1,1 х2. Основание х! и xz a вершинах треугольника допустимых решений (фиг.5). Затем формируют ограничения, используя уравнения: где X 1, Xjz — отрезки. отсекаемые на коорди1 натных осях прямыми, представляющими собой ограничения; х 1, х 2 и х 1, х2 — координаты вершин

1 1 2 2 треугольника допустимых решений, причем вершин, принадлежащих одной и той же стороне треугольника допустимых решений;

) — номер стороны треугольника допустимых решений, j = 1, 2, 3 (фиг,5).

Определяют коэффициенты при переменных и свободные члены ограничений

al! = Х 2 aiz = Х 1 Ь1 = Х 1 X 2 (2)

i=1,2,3.

Задаются целесообразными длинами Z и Z" каких-либо двух боковых ребер каждой из призм, Длины боковых ребер призмы в принятом масштабе равны значениям целевой функции в вершинах треугольника решений.

Решая систему уравнений

Z = С1х! + С2х2, (3)

Z = с!х; + czxz, находят коэффициенты с! и cz при переменных целевой функции.

Здесь х! и xz — координаты вершин треугольника допустимых решений.

Подсчитывают длину третьего ребра:

Z = с1х1 + с2х2, (4)

Полученные в результате проектного расчета призм размеры даны на фиг.б и 7.

В соответствии с фиг.5, 6 и уравнениями

1 — 4 имеем систему ограничений

- 1,375 x1 - 5,5 х2 <- 7,56;

6,33 х! + 3,8 xz = 24;

-5 х1+ 1,25 xz < - 6,25, и три целевые функции

Z1 = 1,27 х1+ 1,1 xz, Zz = 2,8 х1 — 1,2 xz;

Ез = 1,58 х! + 0,9 х2.

Учебное пособие работает следующим образом.

Пластину 9 устанавливают вдоль оси xz в вертикальное положение. Пластину а располагают на планшете так, чтобы ее намагниченный край проходил через точки х! =5,5 и xz = 1,375. Пластину b устанавливают так, чтобы намагниченный ее край прошел через точки x1 = 3,8 и х2 = 6,33, намагниченный край пластины b проходит через точки x1 =

=1,25 и xz =--5, Намагниченные края пластин образуют треугольник АВС, представляющий собой

5 область допустимых решений. Так как этот треугольник (и только он) закрыт всеми тремя пластинами, то при подсвете лампой 4 он будет самым темным участком на планшете

2, Это позволяет отчетливо видеть область

10 допустимых решений и облегчает работу с ней при пользовании прибором.

Определяют градиент первой целевой функции

15 dZ! —. dZ1 -, grad Z1= —, i+

0Х! С1Х, grad 21 = 1,27 1 + 1,1 .

Находят угол а, который направление

20 градиента QGpaaJJBT с направление оси х!

tg а =- 1,1/1,27 = 0,866, откуда а = 40,9О, Устанавливают стержень 5 под углом а= 40,9 к оси x1, а планку G перемещают по стержню 5 до крайней вершины области р,опустимых решений, т,е. до точки А, Координаты этой точки (xl = 2, х» = 3) должнь, являться решением поставленной задач !.

Находят угол /> между направлением градиента и направлением возрастания собственно целевой функции;

1791840 призмы должно совпадать с самым темным участком (треугольником допустимых решений), B этом положении призму закрепляют на основании, имеющем намагниченный участок, и на пластинах, имеющих намагни- 5 ч ен ную кром ку.

Если углы Q и Р подсчитаны правильно, верхняя наклонная грань призмы соприкоснется с плоскостью пластины 9. Наблюдают проекционную связь области допустимых 10 решений с соответствующей зоной на целевой функции. Перемещая ползунок 10 до наиболее удаленной вершины наклонной грани призмы, фиксируют точку максимума целевой функции. Убеждаются, что точка 15 максимума проецируется именно в вершину многоугольника (в данном случае, треугольника) допустимых решений, Используя формулы (5, 6 и 7), выполняют аналогичные действия, располагая 20 вначале на области допустимых решений призму, соответствующую 72 = 2,8 х - 1,2 xz, а затем призму, соответствующую Ез =

=1,58 x> + 0,9 х2.

В первом случае, перемещая ползунок 25 10, .убеждаются, что .различные линейные формы достигают максимума в разных вершинах одной о той же "áëàñòè допустимых решений. Во втором случае наблюдают бесчисленное множество решений — ползунок 30

10 совпадает с одной из сторон (стороной r) треугольника, представляющего собой наклонную грань призмы (фиг.б и 13), Все точки, принадлежащие стороне г являются точками максимума целевой функции. 35

Положительный эффект заявляемого учебного пособия; зримая модель целевой функции в сочетании с различными по форме усеченными призмами позволяет изучать теорию линейного программирования в различных дидактических аспектах, улучшая одновременно наглядность обучения, Формула изобретения

Учебное пособие по математике, содержащее коробку с прозрачным планшетом, окантованным намагниченным материалом, на котором нанесена прямоугольная система координат, источник света, набор прозрачных пластин, каждая из которых имеет намагниченную кромку, стержень, шарнирно закрепленный на планшете в начале координат, и планку, свободно установленную на стержне перпендикулярно ему, о т л и— ч а ю щ е е с я тем, что, с целью расширения дидактических возможностей и улучшения наглядности обучения путем обеспечения возможности демонстрации понятия целевой функции, оно имеет средство моделирования линейных функций двух переменных в виде прозрачной пластины для представления целевой функции, имеющей стрелочный указатель направления возрастания или убывания целевой функции и ползунокимитатор линии равного значения, и набор модифицированных по форме прямых, усеченных призм для имитации проекционной связи области допустимых решений с соответствующей зоной на целевой функции, предназначенных для установки на планшете, закрепляемых на основании и на пластинах, имеющих намагниченную кромку, при этом прозрачная пластина для представления целевой функции установлена на планшете посредством оси, расположенной в начале координат. а основания призм имеют. намагниченный участок для закрепления на пласгинах.

1791840

1791840

1791840

1791840

Юи8/

I7+M3&© (< @ I + p ) Составитель В. Свиридов

Техред M.Moðãåíòàë Корректор Л, Лукач

Редактор

Производственно-издательский комбинат "Патент", г. Ужгород, ул, Гагарина, 101

Заказ 153 Тираж Подписное

ВНИИПИ Государственного комитета по изобретениям и открытиям при ГКНТ СССР

113035, Москва, Ж-35, Раушская наб., 4/5

Учебное пособие по математике Учебное пособие по математике Учебное пособие по математике Учебное пособие по математике Учебное пособие по математике Учебное пособие по математике Учебное пособие по математике Учебное пособие по математике 

 

Похожие патенты:

Изобретение относится к автоматике и вычислительной технике, в частности к процессам нормальных алгоритмов учебного назначения , и может быть использовано в системе образования по курсам программирования , теории алгоритмов и теории автоматов

Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано в качестве учебного пособия при изучении элементарных функций двоичной алгебры логики

Изобретение относится к учебным приборам по математике и может быть использовано при изучении теоремы Пифагора, тригонометрических функций, для операции с комплексными числами, при определении квадрата, куба и логарифма числа

Изобретение относится к демонстрационным приборам и может быть использовано в учебном процессе

Изобретение относится к средствам обучения Цель изобретения - повьовенне наглядности вьтолнёния опе- patpift

Изобретение относится к учебно-наглядным пособиям, в частности к учебным приборам по математике, и может быть использовано при рассмотрении вариационных задач, например, функции Брахистохрона в двухмерном пространстве

Изобретение относится к учебным пособиям и может быть использовано в области учебно-наглядного оборудования для демонстрации и изучения физических и оптических явлений

Бусы // 2380012
Изобретение относится к производству бижутерии

Изобретение относится к средствам для обучения математике, в частности решения алгебраических и неопределенных уравнений

Изобретение относится к области механики и может быть использовано для изучения геометрических форм математических и физических решений изопериметрических задач

Изобретение относится к учебным пособиям по арифметике, в частности для изучения таблицы умножения

Изобретение относится к учебным пособиям (моделям) по .начертательной геометрии и черчению
Наверх