Способ идентификации линейного объекта

 

Изобретение относится к технической кибернетике и предназначено для идентификации линейных детерминированных динамических объектов. Технический результат заключается в повышении точности и быстродействия процесса идентификации линейного объекта, который достигается путем определения значений входного и выходного сигналов объекта, подачи их на пробную модель, которую формируют из последовательного множества пробных моделей возрастающего порядка, выделения первой пробной модели, сравнения сигналов на выходах объекта и выбранной пробной модели и управления выбором порядка следующей модели полученным сигналом рассогласования достижения заранее заданной точности идентификации. 5 ил., 4 табл.

Изобретение относится к технической кибернетике и предназначено для идентификации линейных детерминированных динамических объектов. Способ может быть применен для определения математической модели объекта на основе дискретной информации о сигналах на его входе и выходе и реализован с использованием ЭВМ.

Известен способ идентификации линейного динамического объекта (Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов, М. Энергия, 1979, с.160), в котором задают пробную модель объекта в виде разностного уравнения: где Y_k величина сигнала на выходе объекта в k-том такте; X_k величина сигнала на входе объекта в k-том такте; A_i, B_j параметры математической модели объекта.

Идентификация объекта заключается в том, что по результатам измерений X_k, Y_k оценивают известные параметры A_i, B_j путем составления системы линейных алгебраических уравнений, записав выражение (1) для k 0, 1, 2, 2n. Далее решают эту систему уравнений относительно параметров A_i, B_j.

Способ имеет следующие недостатки: для построения адекватной модели необходимо правильно задать порядок исследуемого объекта, в противном случае не достигается точность идентификации; при замене порядка n необходимо изменять структуру и заново решать систему линейных алгебраических уравнений, что снижает быстродействие из-за значительного числа вычислительных операций (если объект n-го порядка, то система состоит из (2n +1) уравнений); решение системы алгебраических уравнений может быть не определено из-за недостаточной обусловленности основной матрицы системы.

Наиболее близким к предлагаемому способу является способ идентификации линейного динамического объекта (авт. св. N 361456, кл. G 05 B 17/02, заявл. 08.11.69, БИ N1, 1973), сущность которого состоит в следующем: измеряют значения входного и выходного сигналов объекта, подают их на пробную модель, которую задают в виде разностного уравнения (1). Определяют вектор параметров объекта (A₀, A₁, A_m, B₁, B₂, B_n) и вектор состояния (X_k, X_k-1, X_k-m, Y_k-1, Y_k-2, Y_k-n), тогда (1) записывают в виде скалярного произведения: Идентификацию осуществляют по итерационной формуле:
где вектор параметров модели объекта, получаемой в результате идентификации;
α₁ и α₂ настроечные параметры, подбираемые экспериментально.

Определяют разность сигналов с выходов объекта и модели, суммируют ее с сигналом, пропорциональным интегралу разности сигналов, и полученным сигналом управляют параметрами пробной модели.

Этот способ имеет следующие недостатки:
необходимо правильно задать порядок исследуемого объекта, в противном случае занижается точность идентификации;
способ не дает рекомендаций выбора начальных значений настроечных параметров α₁ и α₂ а также алгоритма изменения их при изменении структуры идентификации, что значительно снижает быстродействие процесса идентификации.

Предлагаемым изобретением ставится задача структурно-параметрической идентификации линейного объекта, позволяющая автоматически определить структуру и известные параметры математической модели объекта, исключая процесс корректировки подстраиваемых параметров модели, значительно упрощая и ускоряя процесс идентификации.

Задача решается новым способом идентификации линейного объекта путем определения значений входного и выходного сигналов объекта, подачи их на пробную модель, определения разности сигналов с выходов объекта и пробной модели, причем точность идентификации задают заранее, в качестве модели формируют последовательное множество пробных моделей возрастающего порядка, последовательно выделяют первую пробную модель, сравнивают значения сигналов на выходах объекта и выбранной пробной модели и полученным сигналом рассогласования управляют выбором порядка следующей модели до достижения заданной точности идентификации.

В известных способах построения математических моделей путем дробно-рациональных аппроксимаций неочевидно определение параметров полиномов в числителе и знаменателе, процедура их оценки является достаточно трудоемкой. В предлагаемом способе впервые для аппроксимации дискретной передаточной функции (ДПФ) объекта идентификации использован аппарат непрерывных дробей, порождающих множество пробных моделей объекта, что позволяет автоматически определять структуру и неизвестные параметры модели по заранее заданной точности идентификации.

Изобретение поясняется на фиг. 1 5.

Структурная схема системы, реализующей предлагаемый способ, изображена на чертеже (фиг.1).

Входной сигнал X_k поступает одновременно на вход блока 1 объекта идентификации и на вход блока 2 формирования множества пробных моделей, на блок 2 также поступает выходной сигнал объекта Y_k. Блок 2 определяет ДПФ G(z) идентифицируемого объекта, разлагает ее в непрерывную дробь, получает множество пробных моделей в виде конечных непрерывных дробей, выделяет первую пробную модель. Далее в блоке 3 восстановления значений выходного сигнала объекта определяют модельный выходной сигнал Y^М_k Сигналы на выходах блоков 3 и 1 поступают на блок 4 сравнения, в котором сигнал рассогласования между выходными значениями объекта и выбранной модели сравнивают с заранее заданной точностью идентификации ε Если сигнал рассогласования больше e то повторяют указанную последовательность операций, увеличив с помощью алгебраического сумматора 5 порядок пробной модели на единицу и вернувшись в блок 3. Процесс идентификации прекращается при достижении заданной точности идентификации.

Предлагаемый способ осуществляется следующим образом: по результатам измерений входных и выходных сигналов объекта в равноотстоящие промежутки времени строят ДПФ как отношение вход-выходных Z-преобразований по формуле:
G(z) Y(z)/X(z),
где Y(z) Z-преобразование выходного сигнала;
X(z) Z-преобразование входного сигнала.

Из формулы (2) следует, что полученная ДПФ представляет собой соотношение двух бесконечных полиномов степени z^-1. Для получения ДПФ идентифицируемого объекта в виде дробно-рационального выражения и определения ее параметров, используют аппарат дробно-рациональных аппроксимаций. Разлагают G(z) в непрерывную дробь вида:

где a_i, b_j параметры разложения бесконечной непрерывной дроби, определяющиеся по результатам измеренных значений выходных и входных сигналов объекта.

Аппроксимируют G(z) последовательностью {G_k(z)}ⁿ_k=1 конечных непрерывных дробей в виде дробно-рациональных выражений, параметры которых определяют, вычисляя конечную непрерывную дробь "снизу-вверх". Выделяют первое дробно-рациональное выражение и переходят от полученного выражения для G_k(z) к разности уравнениям вида (1), позволяющим восстанавливать значения модельного сигнала Y^М_k на выходе пробной модели.

Если максимальная разница между экспериментальными Y_k и модельными Y^М_k значениями меньше наперед заданной точности ε для всех точек наблюдения, т. е. если для
для всех k (3),
то уравнение (1) задается искомой математической моделью идентифицируемого объекта порядка, равного порядку соответствующей конечной непрерывной дроби. В противном случае получают новую аппроксимацию ДПФ G(z), взяв конечную непрерывную дробь на порядок выше, находят соответствующее ей разностное уравнение и проверяют выполнение критерия (3).

Конечная непрерывная дробь наибольшего порядка, проходящая через все наблюдаемые значения выходной величины, является точной моделью идентифицируемого объекта с ε 0.

Пример 1. Аналоговый объект идентификации нагревательная печь. Известно, что данный объект описывается апериодическим звеном 1-го порядка, входная величина которого количество поступающего в единицу времени тепла, а выходная величина температура в печи t^o. Передаточная функция звена G(s) K/(T s + 1), где K коэффициент передачи; T- постоянная времени.

На входе объекта имеют сигнал где t время.

На выходе получают сигнал (фиг.2) y(t) K(1-e^-t/T), y₀=0.

Пусть K 1, T 2, тогда для шага дискретизации Δt1 имеют дискретные измеренные значения выходной величины y_k (табл. 1).

Задают требуемую точность идентификации ε= 0,01.

По данным измерений полагают y₁₁ y₁₂= 1.

Находят ДПФ по формуле (2):

Приводят подобные при одинаковых степенях переменной z и вводят следующие обозначения: C₀ y₀, C_k y_k y_k-1 для k 1, 2, 11.

Тогда ДПФ переписывают в виде:

здесь C₀ 0, C₁ 0,39; C₂ 0,238; C₃ 0,144 и т.д.

Разлагают G(z) в непрерывную дробь следующим образом:

Берут непрерывную дробь 2-го порядка:

По найденной ДПФ G₂(z) выписывают разностное уравнение для Y^М_k:
Y^М_k = 0,39·x_k-1-0,000000043·x_k-2+0,605·Y^М_k-1,
где Y^М_k восстановленные значения в k-ый момент времени выходной величины нагревательной печи (табл. 1).

Пример 2. Объект идентификации одновальной топливно-реактивный двигатель с регулируемым соплом. Известно, что процесс расхода топлива описывается точной функцией:
,
где T₁, T₂, T₃ постоянные времени;
K коэффициент передачи.

Пусть с течением времени произошли изменения в канале подачи топлива таким образом, что процесс расхода топлива приобрел свойства неминимально-фазовости (переходная характеристика процесса на фиг.3). Передаточная функция объектов с неминимально-фазовой характеристикой имеет следующий вид:
,
где K коэффициент передачи;
T₁, T₂, T₃ постоянные времени.

Соответствующая дискретная передаточная функция:

Задают требуемую точность идентификации ε 0,02. Для шага дискретизации Dt 4, K 1, T₁ 4, T₂ 10, T₃ 4 имеют следующие параметры G(z):
a₁ -1,0382; a₂ 0,2466; b₁ -0,073; b₂ 0,282.

По ДПФ G(z) находят дискретную теоретическую модель объекта (табл.2) по формуле:
Y_k -0,073x_k-1 + 0,282x_k-2 + 1,038Y_k-1- 0,246Y_k-2
Находят Z-преобразования входной и выходной величин: X(z) 1/(1-z^-1); Y(z) y₀+y ₁ ·z^-1 ++ y₁₁·z^-11+.

По данным измерений выходной величины полагают y₁₁ y₁₂= 1, тогда:
Y(z)= y₀ + y₁·z^-1+ +y₁₁·z^-11[1 + z^-1 + z^-2+. y₀ + y₁·z^-1+.+y₁₁·z ^-11/(1
z^-1).

Далее находят ДПФ по формуле (2) и, приведя подобные при одинаковых степенях переменной z, получают:
,
где C₀ y₀, C_k y₀, C_k y_k - y_k-1 для k 1, 2,11.

Разлагая G(z) в непрерывную дробь и ограничиваясь непрерывной дробью 4-го порядка, получают:

Свернув эту непрерывную дробь, переходят к разностному уравнению:

Здесь Y^М_k восстановленные дискретные значения выходной величины.

Параметры полученной модели в виде ДПФ совпадают с параметрами заданной ДПФ тестового объекта.

Результаты вычислений приведены в сравнительной табл. 2.

Пример 3. Сложный тестовый объект, обладающий транспортным запаздыванием, описывающийся непрерывной передаточной функцией вида:

где K 1 коэффициент передачи; T₁ 10, T₂ 7, T₃ 3, T₄ 2, T_t 4 постоянные величины. В частном случае при T₃ T₄ формула (5) является передаточной функцией сушильной башни для производства серной кислоты. Переходная характеристика тестого объекта изображена на фиг. 4.

Соответствующая объекту (5) ДПФ для шага дискретизации Δt 4:

Тогда теоретическая модель тестого объекта имеет вид:
Y_k 0,0652x_k-2 + 0,0479x_k-3 0,0075x_k-4 + 1,4986y_k-1 0,7041y_k-2 + 0,0998y_k-3
Дискретные измерения выходной величины y при k 1,2,13 приведены в табл. 3.

Аналогично примерам 1, 2 находят разложение ДПФ в непрерывную дробь:

Разностное уравнение, соответствующее непрерывной дроби 4-го порядка:

Разностное уравнение, соответствующее непрерывной дроби 5-го порядка:

Значения выходной величины, восстановленные по уравнениям (6) и (7), приведены в табл. 3 (для точности идентификации ε 0,02).

Пример 4. Сравнительный анализ предлагаемого способа с аналогом. Пусть объект идентификации поплавковый уравномер, входная величина которого - перемещение поплавка, выходная величина изменение уровня жидкости в резервуаре. Этот объект описывается апериодическим звеном 2-го порядка с непрерывной передаточной функцией: G(s) K/(1 + T₁·s + T₂·s²), где K коэффициент передачи, T₁, T₂ - постоянные времени. Возьмем для определенности K 1, T₁ 3, T₂ 1, т.е. уравнение выходной величины y_k 1 1.17e^-k/2 + 0.17e^-k/0,38.

Экспериментатор по виду переходной кривой (фиг. 5) задает порядок пробной модели. Пусть пробная модель 1-го порядка, тогда для нахождения оценок неизвестных параметров модели (1) составляют систему линейных алгебраических уравнений для k 0, 1, 2. Решив ее, получают следующие оценки параметров: A₀ 0, A₁ 0,222, B₁ -1,063, тогда модельные значения выходной величины восстанавливаются разностным уравнением Y¹_k = 0,222x_k-1+1,063y¹_k-1. Результаты вычислений приведены в табл. 4, где y_k экспериментальные значения выходной величины, Y¹_k значения выходной величины пробной модели 1-го порядка, рассчитанные по аналогу, Y²_k значения выходной величины пробной модели 2-го порядка, рассчитанные по аналогу, Y^М_k модельные значения выходной величины, рассчитанные по предлагаемому способу.

Из табл. 4 видно, что пробная модель 1-го порядка плохо описывает объект по сравнению с предлагаемым способом идентификации. Взяв пробную модель не 1-го, а 2-го порядка, по способу аналогу оценивают неизвестные параметры модели, решив систему из 5-ти линейных уравнений следующим образом: A₀ 0, A₁ 0,222, A₂ 0,168, B₁ -0,438, B₂ -1,178. Тогда значения выходной величины пробной модели 2-го порядка восстанавливаются разностным уравнением:

Предлагаемый способ идентификации уже по разностному уравнению:
Y^М_k = 0,222x_k-1+0,084x_k-2+0,013x_k-3+0,68y^М_k-1
соответствующему конечной непрерывной дроби 3-го порядка, описывает объект с точностью ε 0,01 и не требует решения системы алгебраических уравнений.

Этот пример иллюстрирует следующий факт: простые объекты достаточно хорошо идентифицируются по способу-аналогу, визуально определяя по переходной кривой порядок модели. В случае с неминимально-фазовыми объектами эта процедура затруднительна.

Таким образом, точность идентификации объекта зависит от порядка полученной дробно-рациональной передаточной функции, т.е. от порядка модели исследуемого объекта. Предлагаемый способ идентификации отличается от традиционных способов тем, что используют последовательное множество пробных моделей в виде конечных непрерывных дробей, позволяющих, не задавая порядок дробно-рационального выражения ДПФ, алгоритмически находить параметры ДПФ и ее порядок по заранее заданной точности идентификации. Предлагаемый способ предусматривает простоту, точность и быстроту перехода от полученных параметров к любым параметрам других эквивалентных математических моделей. Он позволяет идентифицировать объекты с неминимально-фазовой характеристикой, описание которых является затруднительной задачей, а также значительно увеличивает быстродействие процесса идентификации за счет исключения большого объема вычислительных операций.

Формула изобретения

Способ идентификации линейного объекта путем определения значений входного и выходного сигналов объекта, подачи их на пробную модель, определения разности сигналов с выходов объекта и пробной модели, отличающийся тем, что точность идентификации задают заранее, в качестве модели формируют последовательное множество пробных моделей возрастающего порядка, последовательно выделяют первую пробную модель, сравнивают значения сигналов на выходах объекта и выбранной пробной модели и полученным сигналом рассогласования управляют выбором порядка следующей модели до достижения заданной точности идентификации.

РИСУНКИ

Рисунок 1, Рисунок 2, Рисунок 3, Рисунок 4, Рисунок 5, Рисунок 6