Способ формирования и проверки подлинности электронной цифровой подписи, заверяющей электронный документ

Изобретение относится к области электросвязи, а именно к области криптографических устройств и способов проверки электронной цифровой подписи (ЭЦП). Изобретение позволяет уменьшить размер коллективной ЭЦП без снижения ее уровня стойкости. Способ генерации и проверки ЭЦП включает следующую последовательность действий: генерируют эллиптическую кривую в виде совокупности точек, каждая из которых задается двумя многоразрядными двоичными числами (МДЧ), формируют n>2 секретных ключей в виде МДЧ k₁, k₂, …, k_n, по секретным ключам формируют n открытых ключей в виде точек P₁, P₂, …, Р_n эллиптической кривой, принимают электронный документ, представленный МДЧ Н, в зависимости от принятого электронного документа и от значения секретного ключа формируют ЭЦП Q в виде двух или более МДЧ, формируют коллективный открытый ключ в виде точки Р эллиптической кривой, генерируемой в зависимости от точек , где α₁, α₂, …, α_m - натуральные числа, 2≤m≤n, α_j≤n и j=1, 2, …, m, формируют первое А и второе В проверочные МДЧ, причем, по крайней мере, одно из проверочных МДЧ формируют в зависимости от коллективного открытого ключа Р, сравнивают МДЧ А и В. При совпадении их параметров делают вывод о подлинности электронной цифровой подписи. 4 з.п. ф-лы.

 

Изобретение относится к области электросвязи и вычислительной техники, а конкретнее к области криптографических способов аутентификации электронных сообщений, передаваемых по телекоммуникационным сетям и сетям ЭВМ, и может быть использовано в системах передачи электронных сообщений (документов), заверенных электронной цифровой подписью (ЭЦП), представленной в виде многоразрядного двоичного числа (МДЧ). Здесь и далее под МДЧ понимается электромагнитный сигнал в двоичной цифровой форме, параметрами которого являются число битов и порядок следования их единичных и нулевых значений ¹⁾

(¹⁾ толкование используемых в описании терминов приведено в Приложении 1).

Известен способ формирования и проверки ЭЦП, предложенный в патенте США №4405829 от 20.09.1983 и детально описанный в книгах [1. М.А.Иванов. Криптография. М., КУДИЦ-ОБРАЗ, 2001; 2. А.Г.Ростовцев, Е.Б.Маховенко. Введение в криптографию с открытым ключом. С-Петербург, Мир и семья, 2001. - с.43]. Известный способ заключается в следующей последовательности действий:

формируют секретный ключ в виде трех простых МДЧ p, q и d, формируют открытый ключ (n, е) в виде пары МДЧ n и е, где n - число, представляющее собой произведение двух простых МДЧ р и q, и е - МДЧ, удовлетворяющее условию ed=1 mod (p-1)(q-1), принимают электронный документ (ЭД), представленный МДЧ Н;

в зависимости от значения Н и значения секретного ключа формируют ЭЦП в виде МДЧ Q=S=H^d mod n;

формируют первое проверочное МДЧ А=Н;

формируют второе проверочное МДЧ В, для чего МДЧ S возводят в целочисленную степень е по модулю n: В=S^е mod n;

сравнивают сформированные проверочные МДЧ А и В;

при совпадении параметров сравниваемых МДЧ А и В делают вывод о подлинности ЭЦП.

Недостатком известного способа является относительно большой размер подписи и необходимость увеличения размера подписи при разработке новых более эффективных методов разложения числа n на множители или при росте производительности современных вычислительных устройств. Это объясняется тем, что значение элемента подписи S вычисляются путем выполнения арифметических операций по модулю n, а стойкость ЭЦП определяется сложностью разложения модуля n на множители р и q.

Известен также способ формирования и проверки подлинности ЭЦП Эль-Гамаля, описанный в книге [Молдовян А.А., Молдовян Н.А., Советов Б.Я. Криптография. - СПб, Лань, 2000. - с.156-159], который включает следующие действия:

формируют простое МДЧ р и двоичное число G, являющееся первообразным корнем по модулю р, генерируют секретный ключ в виде МДЧ х, в зависимости от секретного ключа формируют открытый ключ в виде МДЧ Y=G^x mod р, принимают ЭД, представленный в виде МДЧ Н, в зависимости от H и секретного ключа формируют ЭЦП Q в виде двух МДЧ S и R, то есть Q=(S, R);

осуществляют процедуру проверки подлинности ЭЦП, включающую вычисление двух контрольных параметров с использованием исходных МДЧ р, G, Y, H и S путем возведения МДЧ G, Y, R в дискретную степень по модулю р и сравнение вычисленных контрольных параметров;

при совпадении значений контрольных параметров делают вывод о подлинности ЭЦП.

Недостатком данного способа также является относительно большой размер ЭЦП. Это объясняется тем, что значения элементов подписи S и R вычисляют путем выполнения арифметических операций по модулю р-1 и по модулю р соответственно.

Известен также способ формирования и проверки ЭЦП, предложенный в патенте США №4995089 от 19.02.1991. Известный способ заключается в следующей последовательности действий:

формируют простое МДЧ р, такое, что р=Nq+1, где q - простое МДЧ;

формируют простое МДЧ а, такое что а≠1 и а^q mod р=1;

методом генерации случайной равновероятной последовательности формируют секретный ключ в виде МДЧ х;

формируют открытый ключ в виде МДЧ y по формуле y=a^x mod p;

принимают ЭД, представленный МДЧ М;

формируют ЭЦП в виде пары МДЧ (е, s), для чего генерируют случайное МДЧ t, формируют МДЧ R по формуле R=a^t mod р, формируют МДЧ е=f(M||R), где знак || обозначает операцию присоединения двух МДЧ и f - некоторая специфицированная хэш-функция, значение которой имеет фиксированную длину (обычно 160 или 256 бит), независим от размера аргумента, т.е. от размера МДЧ M||R, а затем формируют МДЧ s по формуле s=(t-ex) mod q;

формируют первое проверочное МДЧ А, для чего генерируют МДЧ R' по формуле R'=a^sy^s mod p и формируют МДЧ е'=f(M||R');

формируют второе проверочное МДЧ В путем копирования МДЧ е: В=е;

сравнивают сформированные проверочные МДЧ А и В;

при совпадении параметров сравниваемых МДЧ А и В делают вывод о подлинности ЭЦП.

Недостатком способа по патенту США является относительно высокая вычислительная сложность процедуры формирования и проверки ЭЦП, что связано с тем, что для обеспечения минимально требуемого уровня стойкости требуется использовать простой модуль р разрядностью не менее 1024 бит.

Наиболее близким по своей технической сущности к заявленному является известный способ формирования и проверки подлинности ЭЦП, предлагаемый российским стандартом ГОСТ Р 34.10-2001 и описанный, например, в книге [Б.Я.Рябко, А.Н.Фионов. Криптографические методы защиты информации. М., Горячая линия - Телеком, 2005. - 229 с. (см. с.110-111)], согласно которому ЭЦП формируется в виде пары МДЧ r и s, для чего генерируют эллиптическую кривую (ЭК) в виде совокупности точек, причем каждая точка представляется двумя координатами в декартовой системе координат в виде двух МДЧ, называемых абсциссой (x) и ординатой (y), затем осуществляют операции генерации точек ЭК, сложения точек ЭК и умножения точки ЭК на число, а также арифметические операции над МДЧ, после чего в результате выполненных операций формируются МДЧ r и s. Указанные операции над точками выполняются как операции над МДЧ, являющимися координатами точек, по известным формулам [Б.Я.Рябко, А.Н.Фионов. Криптографические методы защиты информации. М., Горячая линия - Телеком, 2005. - 229 с. (см. с.110-111)]. В прототипе генерируют ЭК, описываемую уравнением y²=x³+ax+b mod р, поэтому генерация ЭК состоит в генерации чисел a, b и р, являющихся параметрами ЭК и однозначно задающих множество точек ЭК как множество точек, абсцисса и ордината которых удовлетворяет указанному уравнению. Ближайший аналог (прототип) заключается в выполнении следующей последовательности действий:

генерируют эллиптическую кривую (ЭК), которая представляет собой совокупность пар МДЧ, называемых точками ЭК и обладающих определенными свойствами (см. Приложение 1, пп.15-19);

методом генерации случайной равновероятной последовательности формируют секретные ключи в виде МДЧ k₁, k₂, …, k_n;

формируют открытые ключи в виде точек ЭК P₁, Р₂, …, Р_n, для чего генерируют точку G, имеющую значение порядка равное q (порядком точки ЭК называется наименьшее положительное целое число q, такое что результатом умножения данной точки на число q является так называемая бесконечно удаленная точка О; результатом умножения любой точки ЭК на нуль по определениию является точка О [Б.Я.Рябко, А.Н.Фионов. Криптографические методы защиты информации. М., Горячая линия - Телеком, 2005. - 229 с. (см. с.97-130)]; см. также Приложение 1, пп.15-19) и генерируют открытые ключи путем умножения точки G на МДЧ k₁, k₂, …, k_n, т.е. формируют открытые ключи по формулам P₁=k₁G, Р₂=k₂G, …, Р_n=k_nG;

принимают ЭД, представленный МДЧ Н;

генерируют случайное МДЧ 0<t<q, по которому формируют точку R по формуле R=tG;

формируют ЭЦП Q в виде пары МДЧ (r, s), для чего генерируют МДЧ r по формуле r=x_R mod q, где x_R - абсцисса точки R, а затем генерируют МДЧ s по формуле s=(tH+rk_i) mod q, где 1≤i≤n;

формируют первое проверочное МДЧ А, для чего генерируют МДЧ v по формуле v=sH^-1 mod q и МДЧ w по формуле w=(q-rH^-1) mod q, затем генерируют точку R' по формуле R'=vG+wP_i, после чего МДЧ А получают по формуле А=x_R' mod q, где x_R' - абсцисса точки R';

формируют второе проверочное МДЧ В путем копирования МДЧ r: В=r;

сравнивают сформированные проверочные МДЧ А и В;

при совпадении параметров сравниваемых МДЧ А и В делают вывод о подлинности ЭЦП.

Недостатком ближайшего аналога является возрастание размера коллективной ЭЦП, т.е. ЭЦП устанавливающей факт подписания некоторого заданного документа двумя и более пользователями пропорционально числу пользователей, подписывающих заданный ЭД, что обусловлено тем, что каждый пользователь формирует ЭЦП, которая не зависит от ЭЦП других пользователей.

Целью изобретения является разработка способа формирования и проверки подлинности ЭЦП, заверяющей ЭД, зависящей от произвольной совокупности секретных ключей пользователей и имеющей фиксированный размер, т.е. размер, который не зависит от числа пользователей, которым принадлежит данная коллективная подпись, благодаря чему уменьшается размер коллективной ЭЦП.

Поставленная цель достигается тем, что в известном способе формирования и проверки подлинности ЭЦП, заверяющей ЭД, заключающемся в том, что генерируют эллиптическую кривую в виде совокупности точек, каждая из которых определяется парой МДЧ, являющихся соответственно абсциссой и ординатой данной точки эллиптической кривой в декартовой системе координат, формируют совокупность из n≥2 секретных ключей в виде МДЧ k₁, k₂, …, k_n, по секретным ключам формируют n открытых ключей в виде точек P₁, Р₂, …, Р_n эллиптической кривой, принимают ЭД, представленный МДЧ Н, в зависимости от принятого электронного документа и от значения секретного ключа формируют ЭЦП Q в виде двух или более МДЧ, формируют первое А и второе В проверочные МДЧ, сравнивают их и при совпадении их параметров делают вывод о подлинности ЭЦП, новым является то, что дополнительно формируют коллективный открытый ключ в виде точки Р эллиптической кривой, генерируемой в зависимости от точек эллиптической кривой , , …, , где α₁, α₂, …, α_m - натуральные числа, 2≤m≤n, α_j≤n и j=1, 2, …, m, причем, по крайней мере, одно из проверочных МДЧ формируют в зависимости от коллективного открытого ключа Р.

Новым является также то, что коллективный открытый ключ Р формируют в зависимости от точек эллиптической кривой , , …, , по формуле

где w_j - вспомогательные МДЧ.

Новым является также и то, что при формировании открытых ключей точки P₁, Р₂, …, Р_n эллиптической кривой генерируют по формуле Р_i=d_iG, где i=1, 2, …, n, G - дополнительно сгенерированная точка эллиптической кривой, a d_i=zk_i mod q, z>1 - натуральное число, q - порядок точки G эллиптической кривой, ЭЦП Q формируют в виде четырех МДЧ x_R, y_R, х_Z и y_Z, для чего генерируют m случайных МДЧ …, генерируют m точек …, эллиптической кривой по формуле где j=1, 2, …, m, после чего генерируют первое и второе МДЧ электронной цифровой подписи в виде соответственно абсциссы x_R и ординаты y_R точки R эллиптической кривой путем генерации точки R эллиптической кривой по формуле затем генерируют промежуточное МДЧ е по формуле е=х_RН mod δ, где x_R - абсцисса точки R и δ - вспомогательное МДЧ, генерируют m точек …, эллиптической кривой по формуле после чего генерируют третье и четвертое МДЧ электронной цифровой подписи в виде соответственно абсциссы x_Z и ординаты y_Z точки Z эллиптической кривой путем генерации точки Z эллиптической кривой по формуле причем первое проверочное МДЧ А формируют по формуле А=x_W, где x_W - абсцисса точки W эллиптической кривой, вычисленной по формуле W=zZ, а второе проверочное МДЧ В формируют по формуле В=х_U, где х_U - абсцисса точки U эллиптической кривой, вычисленной по формуле U=еР+R.

Новым также является и то, что при формировании открытых ключей точки P₁, Р₂, …, Р_n эллиптической кривой генерируют по формуле P_i=d_iG, где i=1, 2, …, n, G - дополнительно сгенерированная точка эллиптической кривой, a d_i=zk_i, mod q, z>1 - натуральное число, q - порядок точки G эллиптической кривой, ЭЦП Q формируют в виде трех МДЧ е, x_Z и y_Z, для чего генерируют m случайных МДЧ …, генерируют m точек …, эллиптической кривой по формуле где j=1, 2, …, m, генерируют точку R эллиптической кривой по формуле после чего формируют первое МДЧ е электронной цифровой подписи по формуле е=х_RН mod δ, где x_R - абсцисса точки R и δ - вспомогательное МДЧ, затем генерируют m точек …, эллиптической кривой по формуле после чего генерируют второе и третье МДЧ электронной цифровой подписи в виде соответственно абсциссы x_Z и ординаты y_Z точки Z эллиптической кривой путем генерации точки Z эллиптической кривой по формуле причем первое проверочное МДЧ А формируют по формуле

А=х_R'Н mod δ,

где x_R' - абсцисса точки R' эллиптической кривой, вычисленной по формуле R'=zZ-еР, а второе проверочное МДЧ В формируют по формуле В=е.

Новым также является и то, что при формировании открытых ключей точки P₁, P₂, …, P_n эллиптической кривой генерируют по формуле P_i=k_iG, где i=1, 2, …, n, G - дополнительно сгенерированная точка эллиптической кривой, имеющая порядок q, а ЭЦП формируют в виде пары МДЧ е и s, для чего генерируют m случайных МДЧ …, генерируют m точек …, эллиптической кривой по формуле где j=1, 2, …, m, генерируют точку R эллиптической кривой по формуле после чего формируют первое МДЧ е электронной цифровой подписи по формуле е=х_RН mod δ, где x_R - абсцисса точки R и δ - вспомогательное простое МДЧ, затем генерируют m МДЧ , …, по формуле после чего генерируют второе МДЧ s электронной цифровой подписи по формуле

причем первое проверочное МДЧ А формируют по формуле

А=x_R'H mod δ,

где х_R' - абсцисса точки R' эллиптической кривой, вычисленной по формуле R'=еР+sG, а второе проверочное МДЧ В формируют по формуле В=е.

Предлагаемый способ может быть использован для числа пользователей равного n≥2. Пользователи условно обозначаются номерами i=1, 2, …, n. Этот номер используется как индекс, указывающий на то, какому пользователю принадлежит секретный и открытый ключи, или на то, какой из пользователей генерирует отмеченные индексом МДЧ или точки ЭК. Из совокупности n пользователей некоторое их подмножество, состоящее из m произвольно выбранных пользователей, может быть задано номерами пользователей входящих в данное подмножество, например номерами α₁, α₂, …, α_m, каждый из которых выбирается из множества чисел 1, 2, …, n. Таким образом, числа α_j, где j=1, 2, …, m, представляют собой выборку произвольных m номеров из множества {1, 2, …, n}, при этом m≤n. Соответственно этому совокупность открытых ключей …, представляет собой выборку из множества всех открытых ключей P₁, P₂, …, P_n, а совокупность секретных ключей k_a, где j=1, 2, …, m, представляет собой выборку из множества всех секретных ключей k_i, где i=1, 2, …, n.

Корректность заявленного способа доказывается теоретически. Рассмотрим, например, вариант реализации способа по п.5 формулы изобретения. Коллективный открытый ключ, соответствующий подмножеству пользователей с условными номерами α₁, α₂, …, α_m, представляет собой точку

Значения которые представляют собой «доли» пользователей в коллективной подписи, генерируются по формуле поэтому

Значение точки R', используемой для формирования первого проверочного МДЧ А, генерируется по формуле R'=еР+sG, т.е. оно равно

Следовательно, A=x_R'Hmodδ=x_RHmodδ=e=В, т.е. правильно сформированная коллективная подпись удовлетворяет процедуре проверки подписи, т.е. корректность процедур генерации и проверки ЭЦП доказана.

Рассмотрим примеры реализации заявленного технического решения с использованием ЭК, описываемой уравнением (см. Приложение 1, пп.15-19):

y²=х³+ax+bmodp,

где конкретные значения использованных параметров описаны в приводимых ниже численных примерах. Использованные в примерах ЭК были сгенерирована с помощью программы, разработанной специально для генерации ЭК, генерации точек ЭК, включая точки с заданным порядком, и выполнения операций над точками ЭК. Приводимые в примере МДЧ записаны для краткости в виде десятичных чисел, которые в вычислительных устройствах представляются и преобразуются в двоичном виде, т.е. в виде последовательности сигналов высокого и низкого потенциала.

Пример 1. Реализация заявляемого способа по п.2 формулы изобретения

В данном примере иллюстрируется п.2 формулы изобретения. В нем используется ЭК с параметрами, обеспечивающими достаточную стойкость для применения при решении реальных практических задач аутентификации информации. Этот пример иллюстрирует реальные размеры чисел, которые используются на практике при генерации и проверке подлинности ЭЦП. Особенностью данного примера является то, что принимают ЭД (представленный МДЧ Н), который состоит из двух частей, представленных МДЧ Н₁ и Н₂. При этом первый пользователь подписывает первую часть документа, второй пользователь - вторую, а третий пользователь подписывает весь документ целиком. Возможность реализации коллективной ЭЦП с такими свойствами обеспечивается за счет того, что при проверке ЭЦП используется коллективный открытый ключ, формируемый в зависимости от открытых ключей пользователей по формуле Р=w₁P₁+w₂P₂+w₃Р₃, где w₁=Н₁, w₂=H₂ и w₃=Н₃.

В примере 1 используется ЭК, определяемая следующими параметрами:

а=5521767865737634555390416300599776622347333359784, b=9717196 и р=5521767865737634555390416300599776622347333359787.

Данная ЭК содержит количество точек равное простому числу N=5521767865737634555390416228783886913339823841723, т.е. любая ее точка имеет порядок q, равный значению N, т.е. q=N.

Рассмотрим коллектив из трех пользователей. При формировании и проверке подлинности ЭЦП (подписью является пара чисел е и s) выполняют следующую последовательность действий:

1. Генерируют ЭК с параметрами, указанными выше.

2. Формируют секретные ключи в виде случайных МДЧ:

k₁=8182108890892890101467333434019 - ключ первого пользователя;

k₂=3952504539403758278808581024791 - ключ второго пользователя;

k₃=9763160941600092631935520658071 - ключ третьего пользователя.

3. Формируют открытые ключи в виде точек ЭК P₁, Р₂, Р₃, для чего

3.1. Генерируют точку G, имеющую порядок q:

G=(4058138998817699569976678358233335958495037969465,

768568926336036825718495218916308682494116144160);

3.2. Генерируют точки P₁, Р₂, Р₃ по формуле Р_i=k_iG, где i=1, 2, 3:

P₁=(2406767665928158899446906165821747218883574602371, 562377648521692290689031507205008060205345636991);

Р₂=(348708108378027085357389414044825237922683510732, 1402026191996080196399482770468472598076052599809)

P₃=(4307166077833519301063322533024162005091025020313, 5280296312549156028148905914215570655514986217509).

4. Принимают ЭД, представленный МДЧ Н и состоящий из двух частей, представленных МДЧ Н₁ и H₂:

Н=8925999026871145131520337612117778680659192576033;

H₁=135708092215597910168314154751917220633712178686;

Н₂=3812498990028819155316571350634376652814331770527.

5. Формируют ЭЦП Q в виде двух МДЧ е и s, для чего выполняют следующие действия.

5.1. Первый, второй и третий пользователи генерируют случайные МДЧ t₁, t₂ и t₃ соответственно:

t₁=2090880922625982683584460167862382379;

t₂=5360383526856663700583896205266418341;

t₃=7677118810723142352012317453400887449.

5.2. Затем первый, второй и третий пользователи генерируют точки R₁, R₂ и R₃ соответственно по формуле R_i=t_iG:

R₁=(4533360075292446608850664400364711592205136618460, 1175061337062232179584348686477324762101164050095);

R₂=(1958279223827902047379336465285895435330140185477, 8836508908256232955144234242970494318564852573);

R₃=(5038616028852959877509554081789667436853794753557, 209613157933044677924551688484534713038841468913).

5.3. Генерируют точку R по формуле R=R₁+R₂+R₃:

R=(2597097970263610863546069436833994580002105418569, 3304915040104400813802374282473985550015521973383).

5.4. Формируют МДЧ е по формуле е=x_R mod δ, где x_R - абсцисса точки R и δ - вспомогательное простое МДЧ (δ=7118198218659321028989011):

е=5079008233076932087473789.

5.5. Первый, второй и третий пользователи генерируют МДЧ s₁, s₂ и s₃ соответственно по формуле s_i=(t_i-ew_ik_i) mod q, где i=1, 2, 3; w₁=Н₁; w₂=H₂; w₃=H и q=N:

s₁=133444963875333388923743187271473122915443205289;

s₂=1887661653203847944710282450835612551620081427016;

s₃=4850696161955991125559318084555021335580302189827.

5.6. Генерируют МДЧ s=s₁+s₂+s₃ mod q:

s=1350034913297537903802927493878220096776002980409.

6. Формируют первое проверочное МДЧ А, для чего выполняют следующую последовательность действий.

6.1. Формируют коллективный открытый ключ в виде точки Р по формуле Р=w₁P₁+w₂P₂+w₃Р₃:

w₁P₁=(1386084349002545424511668926945575066838407867380, 4543633731958840101124845818771841004374561021017)

w₂P₂=(299211431532419026428141393395396288778694972469, 5300327094421154876022064946876206296853312043729)

w₃Р₃=(4523528487954522900878694877895556963796345154180, 4100826103480972798980996909196526199327733122181)

Р=(228426539485900338090938878090464611548638254406, 1202278174553095231135389060209649902535727110543).

6.2. Генерируют точку R'=eP+sG:

eP=(4556848179595887141400726723891321438602307875189, 2883779289574756983177387955618073719731329543379);

sG=(1360352815531577166684912233134001496389816081366, 3543269787247235781900897404104279341644752005600);

R'=(2597097970263610863546069436833994580002105418569, 3304915040104400813802374282473985550015521973383);

6.3. Генерируют МДЧ А по формуле A=x_R'Hmod δ, где дополнительное МДЧ δ=7118198218659321028989011:

А=5079008233076932087473789.

7. Формируют второе проверочное МДЧ В путем копирования МДЧ е:

В=е=5079008233076932087473789.

8. Сравнивают первое А и второе В проверочные МДЧ.

Сравнение показывает, что параметры МДЧ А и В совпадают. Совпадение значений А и В означает, что коллективная ЭЦП является подлинной, т.е. относится к принятому ЭД, представленному МДЧ Н, причем первый пользователь подписал часть ЭД, представленную МДЧ Н₁, второй пользователь подписал часть ЭД, представленную МДЧ H₂, а третий пользователь подписал ЭД целиком.

Пример 2. Реализация заявляемого способа по п.3 формулы изобретения

Данный пример относится к реализации заявленного технического решения с искусственно уменьшенной разрядностью используемых чисел и поясняет реализацию заявляемого способа по п.3 формулы изобретения. В данном примере задается значение z=13917 и при формировании и проверке подлинности ЭЦП (подписью является пара точек ЭК, обозначенных буквами R и Z) выполняют следующую последовательность действий:

1. Генерируют ЭК с параметрами:

р=1449024649,

а=1449024646;

b=1507;

N=q=1449049321.

2. Формируют секретные ключи в виде случайных МДЧ

k₁=35132631 - секретный ключ первого пользователя;

k₂=567916337 - секретный ключ второго пользователя;

k₃=132552971 - секретный ключ третьего пользователя.

3. Формируют открытые ключи в виде точек P₁, Р₂ и Р₃, для чего выполняют следующие действия:

3.1. Генерируют точку G, имеющую порядок q:

G=(1080340158, 754837262).

3.2. Формируют вспомогательные МДЧ d₁, d₂ и d₃ по формуле d_i=zk_i mod q, где i=1, 2, 3:

d₁=13917·35132631 mod q=611204450;

d₂=13917·567916337 mod q=576665295;

d₃=13917·132552971 mod q=99911774.

3.3. Генерируют точки P₁, Р₂ и Р₃ по формуле Р_i=z(k_iG)=(zk_i)G=d_iG:

P₁=(1329656100, 292197808) - открытый ключ первого пользователя;

P₂=(1051928635, 239761167) - открытый ключ второго пользователя;

P₃=(1359744381, 928409442) - открытый ключ третьего пользователя.

4. Принимают ЭД, представленный МДЧ Н=171315687.

5. Формируют ЭЦП Q в виде четырех МДЧ x_R, y_R, x_Z и y_z, являющихся координатами точек R и Z ЭК, для чего выполняют следующие действия.

5.1. Первый, второй и третий пользователи генерируют случайные МДЧ t₁, t₂ и t₃, соответственно:

t₁=172637431;

t₂=36716173;

t₃=71259291.

5.2. Затем первый, второй и третий пользователи генерируют МДЧ b₁, b₂, и b₃ соответственно по формуле b_i=zt_i mod q:

b₁=13917·172637431 mod q=71353009;

b₂=13917·36716173 mod q=913618649;

b₃=13917·71259291 mod q=565817283.

5.3. Затем первый, второй и третий пользователи генерируют точки R₁, R₂ и R₃ соответственно по формуле R_i=b_iG:

R₁=(281198047, 813455618);

R₂=(1260148915, 294769180);

R₃=(1391070805, 541095949).

5.4. Генерируют точку R по формуле R=R₁+R₂+R₃:

R=(x_R, y_R)=(337223575, 1350626111).

5.5. Формируют вспомогательное МДЧ е по формуле е=x_RHmod δ, где x_R - абсцисса точки R и δ - вспомогательное МДЧ (δ=348743991):

е=337223575·171315687 mod δ=54524994.

5.6. Генерируют точки Z_i по формуле Z_i=e(k_iG)+t_iG=(ek_i+t_i)G:

ek₁+t₁=54524994·35132631+172637431modq=1140036991;

ek₂+t₂=54524994·567916337+36716173modq=104065810;

ek₃+t₃=54524994·132552971+71259291modq=638476987:

Z₁=(502331244, 1026983590);

Z₂=(1362556964, 156518973);

Z₃=(697927304, 886677154).

5.7. Генерируют точку Z по формуле Z=Z₁+Z₂+Z₃:

Z=(x_Z, y_Z)=(714524287, 1037968014).

6. Формируют первое проверочное МДЧ А, для чего генерируют точку V=zZ=(1001319513, 191443386) и формируют А путем копирования абсциссы точки V:

A=1001319513.

7. Формируют второе проверочное МДЧ В, для чего выполняют следующие действия.

7.1. Формируют коллективный открытый ключ в виде точки Р по формуле Р=Р₁+P₂+P₃:

Р=(672831345, 705469329);

7.2. Генерируют точку W=еР+R:

еР=(1146914821, 380461506);

W=(1001319513, 191443386).

7.3. Генерируют МДЧ В путем копирования абсциссы точки W:

B=1001319513.

8. Сравнивают первое и второе проверочные МДЧ. Они совпадают, поэтому подпись признается подлинной.

Отметим, что в результате выполнения п.5 примера 1 формируется ЭЦП в виде четырех МДЧ 337223575, 1350626111, 714524287 и 1037968014, которые могут быть представлены точками R=(337223575, 1350626111) и S=(714524287, 1037968014). Эти два варианта представления ЭЦП являются идентичными.

Пример 3. Реализация заявляемого способа по п.4 формулы изобретения

Данный пример относится к реализации заявленного технического решения с искусственно уменьшенной разрядностью используемых чисел и поясняет реализацию заявляемого способа по п.4 формулы изобретения. В примере 3 также задается значение z=13917 и используются те же значения параметров ЭК, секретных и открытых ключей, а также остальных используемых МДЧ, что и в примере 2. Отличие примера 3 от примера 2 состоит в том, что в примере 3 в качестве ЭЦП Q формируется тройка МДЧ е, x_Z и y_Z, из которых второе и третье МДЧ представляют собой координаты некоторой точки ЭК. ЭЦП может быть тождественно представлена в виде и пары (е, Z), где е - МДЧ и Z - точка ЭК. Использование ЭЦП вида (е, Z) позволяет сократить размер подписи примерно на 25% по сравнению с примером 2. При формировании и проверке подлинности ЭЦП (подписью является пара точек ЭК, обозначенных буквами R и Z) в примере 3 выполняют следующую последовательность действий.

1. Выполняют последовательность действий, предписанных пп.1, 2, 3 и 4 примера 1.

2. Формируют ЭЦП Q в виде трех МДЧ е, x_Z и y_Z, где x_Z и y_Z - координаты некоторой точки Z ЭК, которая генерируется в зависимости от секретных ключей пользователей, участвующих в формировании коллективной ЭЦП, для чего выполняют следующие действия.

2.1. Первый, второй и третий пользователи генерируют случайные МДЧ t₁, t₂ и t₃ соответственно:

t₁=172637431;

t₂=36716173;

t₃=71259291.

2.2. Затем первый, второй и третий пользователи генерируют МДЧ b₁, b₂ и b₃ соответственно по формуле b_i=zt_i mod q:

b₁=13917·172637431 mod q=71353009;

b₂=13917·36716173 mod q=913618649;

b₃=13917·71259291 mod q=565817283.

2.3. Затем первый, второй и третий пользователи генерируют точки R₁, R₂ и R₃ соответственно по формуле R_i=b_iG:

R₁=(281198047, 813455618);

R₂=(1260148915, 294769180);

R₃=(1391070805, 541095949).

2.4. Генерируют точку R по формуле R=R₁+R₂+R₃:

R=(337223575, 1350626111).

2.5. Формируют первое МДЧ е электронной цифровой подписи по формуле е=x_RH mod δ, где x_R - абсцисса точки R и δ - вспомогательное МДЧ (δ=348743991):

е=337223575·171315687 mod δ=54524994.

2.6. Генерируют точки Z_i по формуле Z_i=e(k_iG)+t_iG=(ek_i+t_i)G:

ek₁+t₁=54524994·35132631+172637431 mod q=1140036991;

ek₂+t₂=54524994·567916337+36716173 mod q=104065810;

ek₃+t₃=54524994·132552971+71259291 mod q=638476987:

Z₁=(502331244, 1026983590);

Z₂=(1362556964, 156518973);

Z₃=(697927304, 886677154).

2.7. Генерируют второе и третье МДЧ е электронной цифровой подписи в виде координат точки Z ЭК, вычисляемой по формуле Z=Z₁+Z₂+Z₃:

Z=(x_Z, y_Z)=(714524287, 1037968014).

3. Формируют первое проверочное МДЧ А, для чего выполняют следующую последовательность действий.

3.1. Формируют коллективный открытый ключ в виде точки Р по формуле P=P₁+P₂+P₃:

Р=(672831345, 705469329);

3.2. Генерируют точку R'=zS-eP=zS+(q-e)P:

zS=(1001319513, 191443386);

(q-e)P=1394524327·(672831345, 705469329)=(1146914821, 1068563143);

R'=(1001319513, 191443386)+(1146914821, 1068563143)=(337223575, 1350626111);

3.3. Генерируют МДЧ А по формуле A=x_R'Hmod δ, где дополнительное МДЧ δ=348743991:

А=337223575·171315687 mod δ=54524994.

4. Формируют второе проверочное МДЧ В путем копирования МДЧ е:

В=е=54524994.

5. Сравнивают первое А и второе В проверочные МДЧ. Они совпадают, поэтому подпись признается подлинной.

Пример 4. Реализация заявляемого способа по п.5 формулы изобретения

В данном примере используется ЭК, секретные и открытые ключи пользователей такие же, как и в примере 1. В примере используется ЭК, определяемая следующими параметрами:

а=5521767865737634555390416300599776622347333359784, b=9717196 и р=5521767865737634555390416300599776622347333359787.

Данная ЭК содержит количество точек равное простому числу N=5521767865737634555390416228783886913339823841723, т.е. любая ее точка имеет порядок q, равный значению N, т.е. q=N.

Рассмотрим коллектив из трех пользователей. При формировании и проверке подлинности ЭЦП (подписью является пара МДЧ е и s.) выполняют следующую последовательность действий.

1. Генерируют ЭК с параметрами, указанными выше.

2. Формируют секретные ключи в виде случайных МДЧ

k₁=8182108890892890101467333434019 - ключ первого пользователя;

k₂=3952504539403758278808581024791 - ключ второго пользователя;

k₃=9763160941600092631935520658071 - ключ третьего пользователя.

3. Формируют открытые ключи в виде точек ЭК P₁, Р₂, Р₃, для чего выполняют следующие действия.

3.1. Генерируют точку G:

G=(4058138998817699569976678358233335958495037969465,

768568926336036825718495218916308682494116144160);

3.2. Генерируют точки P₁, P₂, P₃ по формуле Р_i=k_iG, где i=1, 2, 3:

P₁=(2406767665928158899446906165821747218883574602371, 562377648521692290689031507205008060205345636991);

P₂=(348708108378027085357389414044825237922683510732, 1402026191996080196399482770468472598076052599809)

P₃=(4307166077833519301063322533024162005091025020313, 5280296312549156028148905914215570655514986217509).

4. Принимают ЭД, представленный, например, следующим МДЧ Н (в качестве которого может быть взята, в частности, хэш-функция от ЭД):

H=8925999026871145131520337612117778680659192576033.

5. Формируют ЭЦП Q в виде пары МДЧ е и s, для чего выполняют следующие действия.

5.1. Первый, второй и третий пользователи генерируют случайные МДЧ t₁, t₂ и t₃ соответственно:

t₁=2090880922625982683584460167862382379;

t₂=5360383526856663700583896205266418341;

t₃=7677118810723142352012317453400887449.

5.2. Затем первый, второй и третий пользователи генерируют точки R₁, R₂ и R₃ соответственно по формуле R_i=t_iG:

R₁=(4533360075292446608850664400364711592205136618460, 1175061337062232179584348686477324762101164050095);

R₂=(1958279223827902047379336465285895435330140185477, 8836508908256232955144234242970494318564852573);

R₃=(5038616028852959877509554081789667436853794753557, 209613157933044677924551688484534713038841468913).

5.3. Генерируют точку R по формуле R=R₁+R₂+R₃:

R=(2597097970263610863546069436833994580002105418569, 3304915040104400813802374282473985550015521973383).

5.4. Формируют первое МДЧ е электронной цифровой подписи по формуле е=x_RHmod δ, где x_R - абсцисса точки R и δ - вспомогательное простое МДЧ (δ=7118198218659321028989011):

e=4927124871592959793329711.

5.5. Первый, второй и третий пользователи генерируют МДЧ s₁, s₂ и s₃ соответственно по формуле s_i=(t_i-ek_i) mod q, где q'=N и i=1, 2, 3:

s₁=359849983424274307716254877984953159149283598626;

s₂=2228471503399271451844174588034195792013686207551;

s₃=3321295738385055881020248326363803564813773402448.

5.6. Генерируют второе МДЧ s электронной цифровой подписи по формуле s=s₁+s₂+s₃ mod q:

s=387849359470967085190261563599065602636919366902.

6. Формируют первое проверочное МДЧ А, для чего выполняют следующую последовательность действий.

6.1. Формируют коллективный открытый ключ в виде точки Р по формуле Р=P₁+P₂+Р₃:

Р=(2597097970263610863546069436833994580002105418569, 3304915040104400813802374282473985550015521973383).

6.2. Генерируют точку R'=eP+sG:

еР=(146955471348564375364922408624400975297984578370, 5067487498889971752716283347516092217397817107870);

sG=(2925357468651177964466813642233631538174971712513, 599550386022153150210626227063281723596625174740);

R'=(2597097970263610863546069436833994580002105418569, 3304915040104400813802374282473985550015521973383).

6.3. Генерируют МДЧ А по формуле А=x_R'Hmod δ, где дополнительное МДЧ δ=7118198218659321028989011:

A=4927124871592959793329711.

7. Формируют второе проверочное МДЧ В путем копирования МДЧ е:

В=е=4927124871592959793329711.

8. Сравнивают первое А и второе В проверочные МДЧ.

Сравнение показывает, что параметры МДЧ А и В совпадают. Совпадение значений А и В означает, что коллективная ЭЦП является подлинной, т.е. относится к принятому ЭД, представленному МДЧ Н, и сформирована тремя пользователями, по открытым ключам которых был сформирован коллективный открытый ключ, использованный для проверки подлинности подписи.

Примеры 1, 2, 3 и 4 экспериментально подтверждают корректность реализации заявляемого способа, что дополняет математическое доказательство корректности, приведенное выше.

Таким образом показано, что заявляемый способ может быть положен в основу стойких систем ЭЦП, обеспечивающих уменьшение размера коллективной ЭЦП.

Приведенные примеры и математическое обоснование показывают, что предлагаемый способ формирования и проверки подлинности ЭЦП работает корректно, технически реализуем и позволяет достичь сформулированного технического результата.

Приложение 1

Толкование терминов, используемых в описании заявки

1. Двоичный цифровой электромагнитный сигнал - последовательность битов в виде нулей и единиц.

2. Параметры двоичного цифрового электромагнитного сигнала: разрядность и порядок следования единичных и нулевых битов.

3. Разрядность двоичного цифрового электромагнитного сигнала - общее число его единичных и нулевых битов, например число 10011 является 5-разрядным.

4. Электронная цифровая подпись (ЭЦП) - двоичный цифровой электромагнитный сигнал, параметры которого зависят от подписанного электронного документа и от секретного ключа. Проверка подлинности ЭЦП осуществляют с помощью открытого ключа, который зависит от секретного ключа.

5. Электронный документ (ЭД) - двоичный цифровой электромагнитный сигнал, параметры которого зависят от исходного документа и способа его преобразования к электронному виду.

6. Секретный ключ - двоичный цифровой электромагнитный сигнал, используемый для формирования подписи к заданному электронному документу. Секретный ключ представляется, например, в двоичном виде как последовательность цифр «0» и «1».

7. Открытый ключ - двоичный цифровой электромагнитный сигнал, параметры которого зависят от секретного ключа и который предназначен для проверки подлинности цифровой электронной подписи.

8. Хэш-функция от электронного документа - двоичный цифровой электромагнитный сигнал, параметры которого зависят от электронного документа и выбранного метода ее вычисления.

9. Многоразрядное двоичное число (МДЧ) - двоичный цифровой электромагнитный сигнал, интерпретируемый как двоичное число и представляемый в виде последовательности цифр «0» и «1».

10. Операция возведения числа S в дискретную степень А по модулю n - это операция, выполняемая над конечным множеством натуральных чисел

{0, 1, 2, …, n-1}, включающем n чисел, являющихся остатками от деления всевозможных целых чисел на число n; результат выполнения операций сложения, вычитания и умножения по модулю n представляет собой число из этого же множества [Виноградов И.М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1972. - 167 с.]; операция возведения числа S в дискретную степень Z по модулю n определяется как Z-кратное последовательное умножение по модулю n числа S на себя, т.е. в результате этой операции также получается число W, которое меньше или равно числу n-1; даже для очень больших чисел S, Z и n существуют эффективные алгоритмы выполнения операции возведения в дискретную степень по модулю [см. Молдовян А.А., Молдовян Н.А., Гуц Н.Д., Изотов Б.В. Криптография: скоростные шифры. - СПб, БХВ-Петербург, 2002. - с.58-61 или Б.Шнайер. Прикладная криптография. - М., изд-во «Триумф», 2002. - с.278-280] и электронные устройства, осуществляющие эту операцию с большой скоростью [У.Диффи. Первые десять лет криптографии с открытым ключом // ТИИЭР. 1988. т.76. №5. с.67-68]; выполнение операции возведения числа S в дискретную степень Z по модулю n обозначается как W=S^Z mod n, где W - число являющееся результатом выполнения данной операции.

11. Функция Эйлера от натурального числа n - это число чисел, являющихся взаимно простыми с n и не превосходящими n [Виноградов И.М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1972. - 167 с.; Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966. - 384 с].

12. Показатель q по модулю n числа а, являющегося взаимно простым с n - это минимальное из чисел γ, для которых выполняется условие a^γ mod n=1, т.е. q=min{γ₁, γ₂, …} [Виноградов И.М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1972. - 167 с.].

13. Операция деления целого числа А на целое число В по модулю n выполняется как операция умножения по модулю n числа А на целое число B^-1, которое является обратным к В по модулю n.

14. Порядок числа q по модулю n числа а - это показатель q по модулю n числа а.

15. Эллиптическая кривая (ЭК) - это совокупность пар МДЧ, которые удовлетворяют соотношению вида

y²=х³+ax+b mod p,

где коэффициенты а и b и модуль р определяют конкретный вариант ЭК. Над ЭК определены операция сложения пар МДЧ и операция умножения пары МДЧ на произвольное целое число. Указанные пары МДЧ записываются в виде (x, y), где x называется абсциссой точки, а y - ординатой. Операции, определенные над точками ЭК, выполняются как операции над координатами точек ЭК. В результате вычисляется пара МДЧ, которая является координатами новой точки, являющейся результатом операции. Точки ЭК называются равными, если равны их обе координаты x и y. Детальное описание ЭК можно найти в широко доступных книгах: [Б.Я.Рябко, А.Н.Фионов. Криптографические методы защиты информации. М., Горячая линия - Телеком, 2005. - 229 с. (см. с.97-130)]

16. Операция сложения двух точек А и В с координатами (х_A, y_A) и (x_B, y_B) соответственно выполняется по формулам:

x_C=k²-x_A-x_Bmod p и y_C=k(x_A-x_C)-y_Amod p,

где если точки А и В не равны, и если точки А и В равны.

17. Операция умножения точки А на натуральное число n определяется как многократное сложение токи А:

nA=А+А+…+А (n раз).

Результатом умножения любой точки ЭК на нуль определяется точка, называемая бесконечно удаленной точкой и обозначаемой буквой О. Две точки А=(x, y) и -А=(x, -y) называются противоположными. Умножение на целое отрицательное число -n определяется следующим образом: (-n)А=n(-А). По определению принимают, что сумма двух противоположных точек равна бесконечно удаленной точке О [Б.Я.Рябко, А.Н.Фионов. Криптографические методы защиты информации. М., Горячая линия - Телеком, 2005. - 229 с. (см. с.97-130)].

18. Выполнение операций на точками ЭК осуществляется в вычислительных устройствах как действия над двоичными цифровыми электромагнитными сигналами, осуществляемыми по определенными правилам, определяемым через операции над МДЧ.

19. Порядком точки А ЭК называется наименьшее натуральное число q, такое что qA=О, т.е. такое, что результатом умножения точки А на число q является бесконечно удаленная точка.

1. Способ генерации и проверки подлинности электронной цифровой подписи, заверяющей электронный документ, заключающийся в том, что генерируют эллиптическую кривую в виде совокупности точек, каждая из которых определяется парой многоразрядных двоичных чисел, являющихся соответственно абсциссой и ординатой данной точки эллиптической кривой в декартовой системе координат, формируют совокупность из n≥2 секретных ключей в виде многоразрядных двоичных чисел k₁, k₂, …, k_n, по секретным ключам формируют n открытых ключей в виде точек P₁, Р₂, …, Р_n эллиптической кривой, принимают электронный документ, представленный многоразрядным двоичным числом Н, в зависимости от принятого электронного документа и от значения секретного ключа формируют электронную цифровую подпись Q в виде двух или более многоразрядных двоичных чисел, формируют первое А и второе В проверочные многоразрядные двоичные числа, сравнивают их и при совпадении их параметров делают вывод о подлинности электронной цифровой подписи, отличающийся тем, что дополнительно формируют коллективный открытый ключ в виде точки Р эллиптической кривой, генерируемой в зависимости от точек эллиптической кривой , где α₁, α₂, …, α_m - натуральные числа, 2≤m≤n, α_j≤n и j=1, 2, …, m, причем, по крайней мере, одно из проверочных многоразрядных двоичных чисел формируют в зависимости от коллективного открытого ключа Р.

2. Способ по п.1, отличающийся тем, что коллективный открытый ключ Р формируют в зависимости от точек эллиптической кривой по формуле ,
где w_j - вспомогательные многоразрядные двоичные числа.

3. Способ по п.1, отличающийся тем, что при формировании открытых ключей точки P₁, P₂, …, Р_n эллиптической кривой генерируют по формуле P_i=d_iG, где i=1, 2, …, n, G - дополнительно сгенерированная точка эллиптической кривой, a d_i=zk_i mod q, z>1 - натуральное число, q - порядок точки G эллиптической кривой, электронную цифровую подпись Q формируют в виде четырех многоразрядных двоичных чисел x_R, y_R, x_Z и y_Z, для чего генерируют m случайных многоразрядных двоичных чисел генерируют m точек эллиптической кривой по формуле где j=1, 2, …, m, после чего генерируют первое и второе многоразрядные двоичные числа электронной цифровой подписи в виде соответственно абсциссы x_R и ординаты y_R точки R эллиптической кривой путем генерации точки R эллиптической кривой по формуле затем генерируют промежуточное многоразрядное двоичное число е по формуле е=x_RН mod δ, где x_R - абсцисса точки R и δ - вспомогательное многоразрядное двоичное число, генерируют m точек эллиптической кривой по формуле , после чего генерируют третье и четвертое многоразрядные двоичные числа электронной цифровой подписи в виде соответственно абсциссы x_Z и ординаты y_Z точки Z эллиптической кривой путем генерации точки Z эллиптической кривой по формуле причем первое проверочное многоразрядное двоичное число А формируют по формуле A=x_W, где x_W - абсцисса точки W эллиптической кривой, вычисленной по формуле W=zZ, а второе проверочное многоразрядное двоичное число В формируют по формуле B=x_U, где x_U - абсцисса точки U эллиптической кривой, вычисленной по формуле U=eP+R.

4. Способ по п.1, отличающийся тем, что при формировании открытых ключей точки P₁, Р₂, …, Р_n эллиптической кривой генерируют по формуле P_i=d_iG, где i=1, 2, …, n, G - дополнительно сгенерированная точка эллиптической кривой, a d_i=zk_i mod q, z>1 - натуральное число, q - порядок точки G эллиптической кривой, электронную цифровую подпись Q формируют в виде трех многоразрядных двоичных чисел е, x_z и y_z, для чего генерируют m случайных многоразрядных двоичных чисел
генерируют m точек эллиптической кривой по формуле где , j=1, 2, …, m, генерируют точку R эллиптической кривой по формуле после чего формируют первое многоразрядное двоичное число е электронной цифровой подписи по формуле е=х_RН mod δ, где x_R - абсцисса точки R и δ - вспомогательное многоразрядное двоичное число, затем генерируют m точек эллиптической кривой по формуле после чего генерируют второе и третье многоразрядные двоичные числа электронной цифровой подписи в виде соответственно абсциссы x_Z и ординаты y_Z точки Z эллиптической кривой путем генерации точки Z эллиптической кривой по формуле причем первое проверочное многоразрядное двоичное число А формируют по формуле A=x_R'H mod δ, где x_R' - абсцисса точки R' эллиптической кривой, вычисленной по формуле R'=zZ-eP, а второе проверочное многоразрядное двоичное число В формируют по формуле В=е.

5. Способ по п.1, отличающийся тем, что при формировании открытых ключей точки P₁, P₂, …, Р_n эллиптической кривой генерируют по формуле P_i=k_iG, где i=1, 2, …, n, G - дополнительно сгенерированная точка эллиптической кривой, имеющая порядок q, а электронную цифровую подпись формируют в виде пары многоразрядных двоичных чисел е и s, для чего генерируют t случайных многоразрядных двоичных чисел , генерируют m точек эллиптической кривой по формуле где j=1, 2, …, m, генерируют точку R эллиптической кривой по формуле после чего формируют первое многоразрядное двоичное число е электронной цифровой подписи по формуле е=x_RН mod δ, где x_R - абсцисса точки R и δ - вспомогательное простое многоразрядное двоичное число, затем генерируют m многоразрядных двоичных чисел по формуле после чего генерируют второе многоразрядное двоичное число s электронной цифровой подписи по формуле причем первое проверочное многоразрядное двоичное число А формируют по формуле A=x_R'H mod δ, где x_R' - абсцисса точки R' эллиптической кривой, вычисленной по формуле R'=eP+sG, а второе проверочное многоразрядное двоичное число В формируют по формуле В=е.