Способ организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-позиционном формате представления с плавающей точкой на универсальных многоядерных процессорах

Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано для выполнения операции умножения чисел, представленных в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой на универсальных многоядерных процессорах. Техническим результатом является повышение скорости вычисления за счет замены операции умножения t-разрядных позиционных мантисс сомножителей n параллельно выполняемыми операциями умножения q-разрядных знакопозиций чисел в системе счисления в остаточных классах. Способ реализуется на универсальном многоядерном вычислителе, содержащем g k-разрядных вычислительных ядер, каждое из которых обеспечивает выполнение системы из f операций, в состав которых входят операции алгебраического умножения и алгебраического сложения над числами, представленными в позиционных целочисленных форматах данных. При организации выполнения операций умножения каждое число, множитель и множимое, представляется в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой в виде (1+k+q·n) - элементного вектора.

 

Изобретение относится к вычислительной технике и предназначено для выполнения операции умножения чисел, представленных в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой на универсальных многоядерных процессорах.

Известен итерационный способ умножения чисел, представленных в одном из позиционных двоичных форматов с плавающей точкой, определенных стандартом IEEE-754. В этом способе умножение состоит из последовательности сложений с накоплением мантисс сомножителей, которые выполняются последовательно, сложения порядков и сложения по модулю два знаков сомножителей. Последовательность сложений с накоплением мантисс сомножителей выполняется следующим образом. При сдвигах мантиссы множителя освободившиеся разряды заполняются нулями. Если первый бит t-разрядной позиционной мантиссы множителя равен единице, то первое слагаемое является мантиссой множимого, иначе первое слагаемое равно нулю. Если второй бит мантиссы множителя равен единице, то второе слагаемое является мантиссой множимого, сдвинутой на один разряд влево, иначе второе слагаемое равно нулю. К сумме первого и второго слагаемого прибавляется мантисса множимого, сдвинутая на два разряда влево, если второй бит мантиссы множителя равен единице, иначе прибавляется нуль. Затем к полученной сумме прибавляется мантисса множимого, сдвинутая на три разряда влево, если третий бит мантиссы множителя равен единице, иначе прибавляется нуль. И так далее до t-го разряда мантиссы множителя, к накопленной сумме прибавляется мантисса множимого, сдвинутая на v разрядов влево, если t-ый бит мантиссы множителя равен единице, иначе прибавляется нуль. В итоге накопленная сумма является искомым произведением мантисс сомножителей. Далее выполняется сложение смещенных позиционных порядков сомножителей, тем самым получается порядок результата. Знак результата определяется сложением по модулю два знаков сомножителей.

Недостаток итерационного способа умножения позиционных двоичных чисел с плавающей точкой состоит в том, что, во-первых, при умножении мантисс выполняется t-1 операций суммирования t-разрядных операндов. Если принять, что операция суммирования t-разрядных операндов выполняется за t тактов процессора, то общее время выполнения операции умножения мантисс позиционных операндов с плавающей точкой составит t·(t-1) тактов. Во-вторых, процесс формирования суммы является последовательным процессом.

Техническим результатом применения способа организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-позиционном формате представления с плавающей точкой на универсальных многоядерных процессорах является повышение скорости вычисления за счет замены операции умножения t-разрядных позиционных мантисс сомножителей n параллельно выполняемыми операциями умножения q-разрядных знакопозиций чисел в системе счисления в остаточных классах, причем q≈t/n. Если принять за время суммирования пары t-разрядных чисел t тактов работы процессора, а за время суммирования пары q-разрядных чисел q тактов работы процессора, то, при условии, что число вычислительных ядер универсального многоядерного процессора не меньше n, а операция умножения q-разрядных чисел может быть выполнена посредством q-1 операции сложения q-разрядных чисел, то предельное ускорение вычислений S составляет: $$S\approx \frac{t\cdot (t-1)}{q\cdot (q-1)}$$

Описание способа организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-позиционном формате представления с плавающей точкой на универсальных многоядерных процессорах: реализация способа осуществляется посредством подачи набора электрических, нейронных либо других сигналов на устройства управления каждого вычислительного ядра многоядерного процессора универсального назначения, которые, в соответствии с данными сигналами, формируют управляющие команды для операционных устройств соответствующих вычислительных ядер.

В позиционных двоичных форматах с плавающей точкой стандарта IEEE-754 любое вещественное число представляется трехэлементным набором:

[M,e,S|M∈[0,2),е∈[еmin,emax],S∈{0,1}],

(1)

где М- рациональная мантисса, е - порядок числа, е_min=2-2^w-1 и е_max=2^w-1-1, s - знак числа.

Величина чисел, записанных в таком формате, выражается формулой -1^s·М·2^е. Машинными представлениями чисел вида (1) являются (w+t+1) - разрядные двоичные векторы 〈sr_w…r₂r₁d_t…d₂d₁〉, где разряды c d₁ по d_t отводятся под представление рациональных двоичных мантисс М=d_t·d_t-1…d₂d₁, разряды с r₁, по r_w отводятся под представление целочисленных двоичных порядков е, записанных в форме с избытком Е=r_wr_w-1…r₂r₁=е+е_max, разряд s выражает знак числа.

Определим целочисленную мантиссу М'=d_td_t-1…d₂d₁ как t-разрядное неотрицательное целое двоичное число, такое что М=М'·2^1-t. Определим перемещенный порядок λ как целое двоичное число со знаком, такое, что λ=е-t+1, где е-w-разрядный порядок числа, представленного в двоичном формате (1).

Зададим n целочисленных положительных q-разрядных оснований системы остаточных классов Р₁,Р₂,…,Р_n таких, что ∀i₁,i₂∈{l,2,…,n},i₁≠i₂:gcd( $$p_{i_1}$$ , $$p_{i_2}$$ )=1, q<k, где gcd( $$p_{i_1}$$ , $$p_{i_2}$$ ) - наибольший общий делитель для $$p_{i_1}$$ и $$p_{i_2}$$ , k - размер разрядной сетки процессора.

Целочисленную мантиссу М'=d_td_t-1…d₂d₁ преобразуем в систему остаточных

классов с заданными основаниями р₁,р₂,…,р_n, получая тем самым модулярную мантиссу $$\tilde{M}$$ =〈m₁,m₂,…,m_n〉:

$$\tilde{M}=\langle m_1,m_2,\dots m_n\rangle =\langle {\left|M\text{'}\right|}_{p_1},{\left|M\text{'}\right|}_{p_2},\dots ,{\left|M\text{'}\right|}_{p_n}\rangle$$ ,

где m_i∈[0,p_i-1], i=1,2,…,n - q-разрядные цифры (модулярные разряды) модулярной мантиссы $$\tilde{M}$$ , q - разрядность оснований р₁,р₂,…,р_n, $${\left|M\text{'}\right|}_{p_i}$$ - операция получения остатка от деления M' на i-ое основание р_i.

Таким образом, число с плавающей точкой вида (1) можно преобразовать к следующему модулярно-позиционному формату:

$$\left[\langle m_1,m_2,\dots m_n\rangle ,\lambda ,s|,m_i\in \left[\mathrm{0,}{p}_i-1\right],\lambda \in \left[\lambda {\text{'}}_{\min },\lambda {\text{'}}_{\max }\right],s\in \left\{\mathrm{0,1}\right\}\right].\text{ (2)}$$

где (m₁,m₂,…,m_n) - набор знакопозиций (модулярных разрядов) модулярной мантиссы $$\tilde{M}$$ , λ - позиционный перемещенный порядок, представляющий собой целое двоичное число со знаком.

Диапазон допустимых значений модулярных мантисс $$\tilde{M}$$ =〈m₁,m₂,…,m_n〉 в системе остаточных классов с основаниями р₁,р₂,…,р_n определяется интервалом $$\left[\mathrm{0,}P={\displaystyle \prod _{i=1}^n{p}_i}\right)$$ , таким образом, t-разрядная позиционная мантисса М=d₁.d_t-1…d₂d₁ может быть представлена в системе остаточных классов набором из n взаимно независимых q-разрядных знакопозиций 〈m₁,m₂,…,m_n〉, причем q≈t/n (для случая, если все основания р₁,р₂,…,р_n q-разрядные).

Примеры преобразования позиционных чисел с плавающей точкой в модулярно-позиционный формат: пусть числа представлены в 10-разрядном двоичном формате вида (1), в котором под смещенный порядок Е отводится четыре бита (максимальный порядок е_max=2^4-1-1=7, соответственно е=Е-7), под дробную часть мантиссы - пять бит (т.е. t=6, причем целая часть d₆ рациональной мантиссы М в явном виде не записана) и под знак числа - один бит. Пусть для представления модулярных мантисс в модулярно-позиционном формате [〈m₁,m₂,…,m_n〉,λ,s] используется три основания: p₁=3=2²-1, p₂=7=2³-1, p₃=31=2⁵-l.

Пример 1: необходимо перевести число Х=[1.5,-1,0]=-1°·1.5·2^-1, представленное в двоичном формате [М,е,s], в модулярно-позиционный формат [〈m₁,m₂,…,m_n〉,λ,s].

С учетом принятых характеристик двоичного формата [М,е,s], число Х будет записано в памяти ЭВМ в виде двоичного вектора 〈0011010000〉. Для его преобразования в модулярно-позиционный формат (2) необходимо выполнить следующие действия:

1. Выделить составные части числа X: знак числа s=0, дробная часть рациональной мантиссы d₅…d₂d₁=10000₂, смещенный (избыточный) порядок Е=0110₂=6.

2. Восстановить целую часть d₆ мантиссы M=d₆.d₅…d₂d₁: d₆=1, т.к. Е>0, следовательно М=1.10000₂.

3. Определить порядок е: е=Е-е_max=6-7=-1, т.к. Е>0.

4. Определить перемещенный позиционный порядок λ и целочисленную мантиссу M':λ=e-t+1=-1-6+1=-6,M'=d₆d₅…d₂d₁=110000₂=48.

5. Найти модулярную мантиссу $$\tilde{M}$$ =〈m₁,m₂,m₃〉: $$\tilde{M}$$ =〈|48|₃,|48|₇,|48|₃₁〉=〈0,6,17〉.

В результате получается число X, представленное в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой: X=[〈0,6,17〉,-6,0]=-1⁰·〈0,6,17〉·2^-6.

Пример 2: необходимо перевести число X=[0.625-6,1]=-1¹·0.625·2^-6 из двоичного формата [М,е,s] в модулярно-позиционный формат [〈m₁,m₂,…,m_n〉,λ,s].

С учетом принятых характеристик двоичного формата [М,е,s], число Х будет записано в памяти ЭВМ в виде двоичного вектора 〈1000010100〉. Для его преобразования в модулярно-позиционный формат (2) необходимо выполнить следующие действия:

1. Выделить составные части числа X: знак числа s=1, дробная часть d₅…d₂d₁=10100₂, смещенный порядок Е=0000₂=0.

2. Восстановить целую часть d₆ мантиссы M=d₆·d₅…d₂d₁: d₆=0, т.к. Е=0, следовательно М=0.10100₂.

3. Определить порядок е: е=е_min=2-2^4-1=-6, т.к. Е=0.

4. Определить перемещенный порядок λ и целочисленную мантиссу М': λ=e-t+1=-6-6+1=-11, M'=d₆d₅…d₂d₁=010100₂=20.

5. Найти модулярную мантиссу $$\tilde{M}$$ =〈m₁,m₂,m₃〉: $$\tilde{M}$$ =〈|20|₃,|20|₇,|20|₃₁〉=(2, 6, 20). В результате получается число X, представленное в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой: X=[〈2, 6, 20〉,-11,1]=-1¹·〈2, 6, 20〉·2^-11.

Пусть A=[〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$ 〉],λ_A,S_A], B=[〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$ 〉],λ_B,S_B] - числа, представленные в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой, где $${\tilde{M}}_A$$ =[〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$ 〉],λ_A,S_A], $${\tilde{M}}_B$$ =[〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$ 〉],λ_B,S_B] - модулярные мантиссы чисел А и В соответственно. Тогда способ умножения С=А·В чисел А и В, представленных в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой (2), на универсальном k-разрядном процессоре, содержащем g вычислительных ядер, определяется следующим образом.

1. Множитель A=[〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$ 〉],λ_A,S_A] и множимое B=[〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$ 〉],λ_B,S_B], представленные в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой, загружают в универсальный k-разрядный процессор, содержащий g вычислительных ядер, следующим образом:

1.1. Если число g вычислительных ядер процессора превышает число n оснований р₁,р₂,…,р_n системы остаточных классов, используемых для представления модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ =〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$ 〉 и $${\tilde{M}}_B$$ =〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$ 〉 чисел А и В соответственно, то:

- в первое ядро универсального многоядерного процессора загружают q-разрядные двоичные представления первых знакопозиций $$m_1^A$$ и $$m_1^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ =〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$ 〉, и $${\tilde{M}}_B$$ =〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$ 〉 чисел А и В соответственно, а также

основание системы остаточных классов pi, разрядность q которого не превышает размер k разрядной сетки процессора;

- параллельно с этим, во второе ядро универсального многоядерного процессора загружают q-разрядные двоичные представления вторых знакопозиций $$m_2^A$$ и $$m_2^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов р₂, разрядность q которого не превышает размер k разрядной сетки процессора; и т.д.;

- параллельно с этим, в n-ое ядро универсального многоядерного процессора загружают q-разрядные двоичные представления n-ых знакопозиций $$m_n^A$$ и $$m_n^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов р_n, разрядность q которого не превышает размер k разрядной сетки процессора;

- параллельно с этим, в (n+1)-ое ядро универсального многоядерного процессора загружают k-разрядные двоичные порядки λ_A и λ_B, а также знаки s_A и s_B чисел А и В соответственно.

1.2. Если число n оснований p₁, p₂,…,p_n системы остаточных классов используемых для представления модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ =〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$ 〉 и $${\tilde{M}}_B$$ =〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$ 〉 равно числу g вычислительных ядер универсального вычислителя, либо превышает его, то:

- q-разрядные двоичные представления первых знакопозиций $$m_1^A$$ и $$m_1^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно, а также q-разрядное основание системы остаточных классов р₁ загружают в первое ядро универсального многоядерного процессора;

- параллельно с этим, q-разрядные двоичные представления вторых знакопозиций $$m_2^A$$ и $$m_2^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно, а также q-разрядное основание системы остаточных классов p₂ загружают во второе ядро универсального многоядерного процессора; и т.д.;

- параллельно с этим, q-разрядные двоичные представления (g-1)-ыx знакопозиций $$m_{g-1}^A$$ и $$m_{g-1}^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно, а также q-разрядное основание системы остаточных классов p_g-1 загружают в (g-1)-ое ядро универсального многоядерного процессора;

- q-разрядные двоичные представления g-ых знакопозиций $$m_g^A$$ и $$m_g^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно, а также q-разрядное основание системы остаточных классов p_g загружают в первое ядро универсального многоядерного процессора;

- q-разрядные двоичные представления (g+1)-ыx знакопозиций $$m_{g+1}^A$$ и $$m_{g+1}^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно, а также q-разрядное основание системы остаточных классов p_g+1 загружают во второе ядро универсального многоядерного процессора;

- и т.д., пока не будут загружены n-ые знакопозиций $$m_n^A$$ и $$m_n^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ =〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$ 〉 и $${\tilde{M}}_B$$ =〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$ 〉 чисел А и В соответственно;

- параллельно с этим, k-разрядные двоичные порядки λ_А и λ_B, а также знаки s_A и s_B чисел А и В соответственно загружают в g-oe ядро универсального многоядерного процессора.

2. После того как множитель A=[〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$ 〉,λ_A,S_A] и множимое B=[〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$ 〉,λ_B,S_B], представленные в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой, загружены в универсальный k-разрядный процессор, содержащий g вычислительных ядер, операция их умножения выполняется следующим образом:

2.1. Если число g вычислительных ядер процессора превышает число n оснований p₁,p₂,…;p_n системы остаточных классов, используемых для представления модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ =〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$ 〉 и $${\tilde{M}}_B$$ =〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$ 〉 чисел А и В соответственно, то:

- в первом вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения $$m_1^C={\left|m_1^A\cdot m_1^B\right|}_{p_{{}_1}}$$ по модулю р₁ q-разрядных двоичных представлений знакопозиций $$m_1^A$$ и $$m_2^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ =〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$ 〉 и $${\tilde{M}}_B$$ =〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$ 〉 чисел А и В соответственно, путем нахождения значения

$$m_1^C={\left|m_1^A\cdot m_1^B\right|}_{p_{{}_1}}=m_1^A\cdot m_1^B-\lfloor \frac{m_1^A\cdot m_1^B}{p_1}\rfloor \cdot p_1$$ , где $$\lfloor \frac{m_1^A\cdot m_1^B}{p_1}\rfloor$$ - наибольшее целое, не превышающее $$\frac{m_1^A\cdot m_1^B}{p_1}$$ ; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

- параллельно с этим, во втором вычислительном ядре процессора выполняется $$m_2^C={\left|m_2^A\cdot m_2^B\right|}_{p_{{}_2}}$$ по модулю р₂ q-разрядных двоичных представлений знакопозиций $$m_2^A$$ и $$m_2^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления; и т.д.;

- параллельно с этим, в n-ом вычислительном ядре процессора выполняется операция умножения $$m_n^C={\left|m_n^A\cdot m_n^B\right|}_{p_n}$$ по модулю р_n q-разрядных двоичных представлений знакопозиций $$m_n^A$$ и $$m_n^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

- параллельно с этим, в (n+1)-м вычислительном ядре процессора выполняется сложение двоичных порядков λ_A и λ_B, а также сложение по модулю два s_C=|s_A+s_B|₂ знаков s_A и S_B чисел А и В соответственно.

2.2. Если число n оснований р₁,p₂,…,p_n системы остаточных классов используемых для представления модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ =〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$ 〉 и $${\tilde{M}}_B$$ =〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$ 〉 равно числу g вычислительных ядер универсального вычислителя, либо превышает его, и в каждое j-oe вычислительное ядро из первых (g-1) вычислительных ядер процессора загружено w_j знакопозиций

$$m_{i\cdot (g-1)+j}^A$$ и $$m_{i\cdot (g-1)+j}^B$$ , i=0,1,…,w₁-1, то:

- в первом вычислительном ядре процессора последовательно выполняются операции умножения $$m_{i\cdot (g-1)+1}^C={\left|m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B\right|}_{p_{{}_i}\cdot (g-1)+1}$$ по модулям p_i·(g-1)+1, i=0,1,…,w₁-1, g-разрядньгх двоичных представлений всех w₁ загруженных в него знакопозиций $$m_{i\cdot (g-1)+1}^A$$ и $$m_{i\cdot (g-1)+1}^B$$ , i=0,1,…,w₁-1 модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ =〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$ 〉 и $${\tilde{M}}_B$$ =〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$ 〉 чисел А и В соответственно, путем нахождения значений $$\begin{array}{l}{\left|m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B\right|}_{p_{{}_i}\cdot (g-1)+1}=m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B-\lfloor \frac{m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B}{p_{i\cdot (g-1)+1}}\rfloor \cdot \\ p_{i\cdot (g-1)+1},i=\mathrm{0,1,}\dots ,w_1-\mathrm{1,}где\lfloor \frac{m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B}{p_{i\cdot (g-1)+1}}\rfloor \end{array}$$

- наибольшее целое, не превышающее $$\frac{m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B}{p{i}_{\cdot (g-1)+1}}$$ ; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

- параллельно с этим, во втором вычислительном ядре процессора последовательно выполняются операции умножения $$m_{i\cdot (g-1)+2}^C={\left|m_{i\cdot (g-1)+2}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+2}^B\right|}_{p_{{}_i}\cdot (g-1)+2}$$

по модулям р_i·(g-1)+2, i=0,1,…,w₂-1, q-разрядных двоичных представлений всех w₂ загруженных в него знакопозиций $$m_{i\cdot (g-1)+2}^A$$ и $$m_{i\cdot (g-1)+2}^B$$ , i=0,1,…,w₂-1, модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел A и B соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления; и т.д.;

- параллельно с этим, в (g-l)-M вычислительном ядре процессора последовательно выполняются операции умножения $$m_{(i+1)\cdot (g-1)}^C={\left|m_{(i+1)\cdot (g-1)}^A\cdot m_{(i+1)\cdot (g-1)}^B\right|}_{p_{(i+1)\cdot (g-1)}}$$ по модулям р_(i+1)·(g-1), i=0,1,…, w_g-1-1, q-разрядных двоичных представлений всех W_g-1 загруженных в него знакопозиций $$m_{(i+1)\cdot (g-1)}^A\text{ и }{m}_{(i+1)\cdot (g-1)}^B$$ , i=0,1,…,W_g-1-1 модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;

- параллельно с этим, в g-м вычислительном ядре процессора выполняется сложение двоичных порядков λ_A и λ_B, а также сложение по модулю два s_C=|s_A+s_B|₂ знаков s_A и s_B чисел А и В соответственно.

В результате выполнения данных операций получается произведение

$$\text{C=}\left[\langle {\text{m}}_{\text{1}}^{\text{C}},m_2^C,\dots m_n^C\rangle ,{\lambda }_C,s_C\right]$$ чисел $$\text{A=}\left[\langle {\text{m}}_{\text{1}}^{\text{A}},m_2^A,\dots m_n^A\rangle ,{\lambda }_A,s_A\right]$$ и $$\text{B=}\left[\langle {\text{m}}_{\text{1}}^{\text{B}},m_2^B,\dots m_n^B\rangle ,{\lambda }_B,s_B\right]$$ , представленное в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой.

Пример: необходимо выполнить операцию умножения С=А·В в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой на универсальном процессоре, содержащем четыре 5-разрядных вычислительных ядра. Для представления мантисс операндов заданы следующие 5-разрядные основания системы остаточных классов: р₁=3=2²-1, p₂=7=2³-1, р₃,=31=2⁵ -1, P=p₁·p₂·p₃=65l - произведение оснований (верхний предел допустимого диапазона представления модулярных мантисс). Сомножители заданы в модулярно-позиционном формате следующим образом: А=[〈2,4,11〉,-4,1], B=[〈2,3,17〉,2,0].

1. Множитель А=[〈2,4,11〉,-4,1] и множимое В=[〈2,3,17〉,2,0] загружаем в универсальный 5-разрядный процессор, содержащий четыре вычислительных ядра, следующим образом:

- в первое ядро загружаем первые знакопозиции $$m_1^A=2$$ и $${\text{m}}_{\text{1}}^{\text{B}}=2$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ =(2, 4, 11) и $${\tilde{M}}_B$$ =(2, 3, 17), а также основание системы остаточных классов p₁=3;

- параллельно с этим, во второе ядро загружаем вторые знакопозиции $${\text{m}}_{\text{2}}^{\text{A}}=4$$ и $${\text{m}}_{\text{2}}^{\text{B}}=3$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ =(2, 4, 11) и $${\tilde{M}}_B$$ =(2, 3, 17), а также основание системы остаточных классов р₂=7;

- параллельно с этим, в третье ядро загружаем третьи знакопозиции $${\text{m}}_{\text{3}}^{\text{A}}=11$$ и $${\text{m}}_{\text{3}}^{\text{B}}=17$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ =(2, 4, 11) и $${\tilde{M}}_B$$ =(2, 3, 17), а также основание системы остаточных классов р₃=31;

- параллельно с этим, в четвертое ядро универсального многоядерного процессора загружаем 5-разрядные двоичные порядки λ_A=-4 и λ_B=2, а также знаки s_A=1 и s_B =0.

2. Так как число вычислительных ядер процессора превышает число оснований p₁,р₂,…,p_n системы остаточных классов, используемых для представления модулярных

мантисс $${\tilde{M}}_A$$ =(2, 4, 11) и $${\tilde{M}}_B$$ =(2, 3, 17) чисел А и В соответственно, то операцию умножения выполняем следующим образом:

- в первом вычислительном ядре процессора выполняем операцию

целочисленного умножения по модулю p₁: $$m_1^C={\left|m_1^A\cdot m_1^B\right|}_{p_1}={\left|2\cdot 2\right|}_3=1$$ ;

- параллельно с этим, во втором вычислительном ядре процессора выполняем операцию целочисленного умножения по модулю p₂: $$m_2^C={\left|m_2^A\cdot m_2^B\right|}_{p_2}={\left|4\cdot 3\right|}_7=5$$ ;

- параллельно с этим, в третьем вычислительном ядре процессора выполняем операцию целочисленного умножения по модулю p₃: $$m_3^C={\left|m_3^A\cdot m_3^B\right|}_{p_3}={\left|11\cdot 17\right|}_{31}=1$$ ;

- параллельно с этим, в четвертом вычислительном ядре процессора выполняем сложение двоичных порядков λ_A и λ_B, а также сложение по модулю два s_C=|s_A+s_B|₂ знаков s_A и s_B чисел А и В соответственно: λ_C=λ_A+λ_B=-4+2=-2, s_C=|s_A+s_B|₂=|1+0|₂=1.

В результате получен результат С=[〈1,5,1〉, -2,1] в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой, соответствующий позиционному числу -1¹·187·2^-2.

Если принять за время сложения пары q-разрядных остатков q тактов работы универсального процессора, содержащего g k-разрядных вычислительных ядер, причем q≤k, то время вычисления произведения t-разрядных мантисс чисел с плавающей точкой А и В, при t≈q·n в предельном случае (когда $$\left(m_i^A\cdot m_i^B\right)$$ <p_i, i=1,2,…,n) no описанному способу равно q·(q -1) тактов, тогда как время умножения итерационным способом равно t·(t-1)≈q·n·(q·n-1) тактов. Для вычисления порядков и знаков операндов потребуется k тактов (k-1 такт для суммирования порядков, и 1 такт для суммирования знаков), причем их вычисление будет осуществляться параллельно с вычислением знакопозиций модулярных мантисс, поэтому время на вычисление порядков и знаков результата умножения операндов с плавающей точкой не учитывается. Таким образом, время умножения чисел с плавающей точкой на базе описанного способа в

$$\frac{t\cdot (t-1)}{q\cdot (q-1)}=\frac{q\cdot n\cdot (q\cdot n-1)}{q\cdot (q-1)}=\frac{n\cdot (q\cdot n-1)}{(q-1)}$$ раз выше по сравнению с быстродействием известного итерационного способа умножения позиционных чисел с плавающей точкой.

Способ организации выполнения операции умножения двух чисел в модулярно-позиционном формате представления с плавающей точкой на универсальных многоядерных процессорах, заключающийся в том, что:
универсальный многоядерный вычислитель содержит g k-разрядных вычислительных ядер, каждое из которых обеспечивает выполнение системы из f операций, в состав которых входят операции алгебраического умножения и алгебраического сложения над числами, представленными в позиционных целочисленных форматах данных;
при организации выполнения операций умножения каждое число, множитель и множимое, представляется в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой в виде (1+k+q·n) - элементного вектора, где:
первый слева разряд s является старшим разрядом в формате числа и отводится под значение знака числа, причем если s=0, то число считается положительным, а если s=1, то число считается отрицательным;
следующие за первым разрядом s числа k разрядов отводятся под хранение позиционного порядка числа, представляющего собой целое двоичное число λ со знаком s_λ, изменяющееся для конечных чисел с плавающей точкой в диапазоне λ_min≤λ≤λ_max и получаемое в результате преобразования числа из позиционного формата с плавающей точкой посредством вычисления выражения λ=е-t+1, где е определяет величину числа в двоичном позиционном формате с плавающей точкой в выражении (-1^s·М·2^е) при 0≤М<2, являющейся рациональной t-разрядной мантиссой числа в двоичном позиционном формате с плавающей точкой, λ_min=2-2^k-1, λ_max=2^k-1-2, при s_λ=0 порядок λ считается положительным, а при s_λ=1 порядок λ считается отрицательным;
следующие за (k+1) разрядами q·n разрядов, причем q≤k, отводятся для представления мантиссы числа $$\tilde{M}=\langle m_1,m_2,\dots ,m_n\rangle$$ в модулярно-позиционном формате, причем данная мантисса представляется в системе остаточных классов с n основаниями р₁, р₂, …, p_n, n - количество знакопозиций мантиссы, q - разрядность каждой знакопозиции; причем, каждая i-ая знакопозиция, где 1≤i≤n, представляется целым неотрицательным числом m_i в двоичной позиционной системе счисления; значение m_i каждой i-ой знакопозиции определяется по выражению $$m_i={\left|M\text{'}\right|}_{p_i}$$ , где М' - целое неотрицательное двоичное число, определяемое выражением М'=М·2^t-1, М - рациональная t-разрядная мантисса числа в двоичном позиционном формате с плавающей точкой, $${\left|M\text{'}\right|}_{p_i}$$ - операция получения остатка от деления М' на i-oe основание p_i;
диапазон изменения модулярной мантиссы $$\tilde{M}=\langle m_1,m_2,\dots ,m_n\rangle$$ в позиционной системе счисления определяется интервалом $$\left[\mathrm{0,}P={\displaystyle \prod _{i=1}^n{p}_i}\right)$$ ;
значения порядка λ и мантиссы $$\tilde{M}=\langle m_1,m_2,\dots ,m_n\rangle$$ положительных конечных чисел при s=0 в модулярно-позиционном формате [λ,s,〈m₁,m₂,…,m_n〉] находятся соответственно в следующих диапазонах: 2-2^k-1≤λ≤2^k-1-2, 〈0₁,0₂,…,0_n〉≤ $$\tilde{M}$$ ≤〈(p₁-1),(p₂-1),…,(p_n-1)〉;
значения порядка λ и мантиссы $$\tilde{M}=\langle m_1,m_2,\dots ,m_n\rangle$$ отрицательных конечных чисел при s=1 в модулярно-позиционном формате находятся соответственно в следующих диапазонах: 2-2^k-1≤λ≤2^k-1-2, 〈0₁,0₂,…,0_n〉≤ $$\tilde{M}$$ ≤ 〈(p₁-1),(p₂-1),…,(p_n-1)〉;
значение положительной бесконечности представляется в модулярно-позиционном формате следующим образом: s=0, λ=λ_max+1=2^k-1-1, $$\tilde{M}=\langle 0_1{\mathrm{,0}}_2,\dots {\mathrm{,0}}_n\rangle$$ ;
значение отрицательной бесконечности представляется в модулярно-позиционном формате следующим образом: s=1, λ=λ_max+1=2^k-1-1, $$\tilde{M}=\langle 0_1{\mathrm{,0}}_2,\dots {\mathrm{,0}}_n\rangle$$ ;
для положительных нечисловых величин (NaN) в модулярно-позиционном формате [s,λ,〈m₁,m₂,…,m_n〉], при s=0, значение позиционного порядка λ определяется выражением λ=λ_max+1=2^k-1-1, а значения мантиссы $$\tilde{M}=\langle m_1,m_2,\dots ,m_n\rangle$$ находятся в диапазоне 〈1₁,1₂,…,1_n〉≤ $$\tilde{M}$$ ≤〈(p₁-1),(p₂-1),…,(p_n-1)〉;
для отрицательных нечисловых величин (NaN) в модулярно-позиционном формате, при s=1, значение позиционного порядка λ определяется выражением λ=λ_max+1=2^k-1-1, а значения мантиссы $$\tilde{M}=\langle m_1,m_2,\dots ,m_n\rangle$$ находятся в диапазоне 〈1₁,1₂,…,1_n〉≤ $$\tilde{M}$$ ≤〈(p₁-1),(p₂-1),…,(p_n-1)〉;
величины в модулярно-позиционном формате, имеющие значение позиционного порядка λ=λ_min-1=1-2^k-1, при изменении значений модулярной мантиссы в диапазоне 〈1₁,1₂,…,1_n〉 ≤ $$\tilde{M}$$ ≤ 〈(p₁-1),(p₂-1),…,(p_n-1)〉, служат для расширенного кодирования исключительных ситуаций, которые могут возникнуть в процессе вычислений, а именно: потеря порядка и переполнение порядка;
по сигналу процессора, множитель $$\text{A=}\left[\langle {\text{m}}_{\text{1}}^{\text{A}},m_2^A,\dots m_n^A\rangle ,{\lambda }_A,s_A\right]$$ и множимое $$\text{B=}\left[\langle {\text{m}}_{\text{1}}^{\text{B}},m_2^B,\dots m_n^B\rangle ,{\lambda }_B,s_B\right]$$ , представленные в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой, загружаются в универсальный k-разрядный процессор, содержащий g вычислительных ядер, следующим образом:
при условии, что g≥n+1, т.е. если число вычислительных ядер процессора превышает число оснований системы остаточных классов, используемых для представления модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ =〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$ 〉 и $${\tilde{M}}_B$$ =〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$ 〉 чисел А и В соответственно, то:
в первое ядро универсального многоядерного процессора загружают q-разрядные двоичные представления первых знакопозиций $$m_1^A$$ и $$m_1^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ =〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$ 〉 и $${\tilde{M}}_B$$ =〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$ 〉 чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов p₁;
параллельно с этим, во второе ядро универсального многоядерного процессора загружают q-разрядные двоичные представления вторых знакопозиций $$m_2^A$$ и $$m_2^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов p₂; параллельно с этим в третье ÷ n-ое ядро универсального многоядерного процессора загружают q-разрядные двоичные представления третьих ÷ n-ых знакопозиций $$m_3^A$$ ÷ $$m_n^A$$ и $$m_3^B$$ ÷ $$m_n^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов p₃÷p_n;
параллельно с этим в (n+1)-ое ядро универсального многоядерного процессора загружают k-разрядные двоичные порядки λ_A и λ_B, а также знаки s_A и s_B чисел А и В соответственно;
при условии, что g<n+1, т.е. если число оснований системы остаточных классов используемых для представления модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ =〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$ 〉 и $${\tilde{M}}_B$$ =〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$ 〉 чисел А и В соответственно равно числу вычислительных ядер универсального вычислителя, либо превышает его, то:
q-разрядные двоичные представления первых знакопозиций $$m_1^A$$ и $$m_1^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов р₁ загружают в первое ядро универсального многоядерного процессора;
параллельно с этим, q-разрядные двоичные представления вторых знакопозиций $$m_2^A$$ и $$m_2^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов р₂ загружают во второе ядро универсального многоядерного процессора;
параллельно с этим аналогичным образом загружают q-разрядные двоичные представления третьих ÷(q-1)-ых знакопозиций $$m_3^A$$ ÷ $$m_{g-1}^A$$ и $$m_3^B$$ ÷ $$m_{g-1}^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов p₃÷p_g-1 в третье ÷(g-1)-ое ядро универсального многоядерного процессора;
q-разрядные двоичные представления g-ых знакопозиций $$m_g^A$$ и $$m_g^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов p_g загружают в первое ядро универсального многоядерного процессора;
аналогичным образом q-разрядные двоичные представления (g+1)-ых знакопозиций $$m_{g+1}^A$$ и $$m_{g+1}^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно, а также основание системы остаточных классов p_g+1 загружают во второе ядро универсального многоядерного процессора;
процесс циклической загрузки продолжается пока не будут загружены n-ые знакопозиции $$m_n^A$$ и $$m_n^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ =〈 $$m_1^A,m_2^A,\dots m_n^A$$ 〉 и $${\tilde{M}}_B$$ =〈 $$m_1^B,m_2^B,\dots m_n^B$$ 〉 чисел A и В соответственно;
параллельно с этим, k-разрядные двоичные порядки λ_A и λ_B, а также знаки s_A и s_B чисел А и В соответственно загружают в g-oe ядро универсального многоядерного процессора;
после того как множитель $$A=\left[\langle m_1^A,m_2^A,\dots ,m_n^A\rangle ,{\lambda }_A,s_A\right]$$ и множимое $$B=\left[\langle m_1^B,m_2^B,\dots ,m_n^B\rangle ,{\lambda }_B,s_B\right]$$ , представленные в модулярно-позиционном формате с
плавающей точкой, загружены в универсальный k-разрядный процессор, содержащий g-вычислительных ядер, операция их умножения выполняется следующим образом:
при условии, что g≥n+1, т.е. если число вычислительных ядер процессора превышает число оснований системы остаточных классов, используемых для представления модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A=\langle m_1^A,m_2^A,\dots ,m_n^A\rangle$$ и $${\tilde{M}}_B=\langle m_1^B,m_2^B,\dots ,m_n^B\rangle$$ чисел А и В соответственно, то:
в первом вычислительном ядре процессора выполняется операция целочисленного умножения $$m_1^C={\left|m_1^A\cdot m_1^B\right|}_{p_{{}_1}}$$ по модулю р₁ q-разрядных двоичных представлений знакопозиций $$m_1^A$$ и $$m_2^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A=\langle m_1^A,m_2^A,\dots ,m_n^A\rangle$$ и $${\tilde{M}}_B=\langle m_1^B,m_2^B,\dots ,m_n^B\rangle$$ чисел А и В соответственно, путем нахождения значения $$m_1^C={\left|m_1^A\cdot m_1^B\right|}_{p_{{}_1}}=m_1^A\cdot m_1^B-\lfloor \frac{m_1^A\cdot m_1^B}{p_1}\rfloor \cdot p_1$$ , где $$\lfloor \frac{m_1^A\cdot m_1^B}{p_1}\rfloor$$ - наибольшее целое, не превышающее $$\frac{m_1^A\cdot m_1^B}{p_1}$$ ; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
параллельно с этим, во втором вычислительном ядре процессора аналогичным образом выполняется операция умножения $$m_2^C={\left|m_2^A\cdot m_2^B\right|}_{p_{{}_2}}$$ по модулю р₂ q-разрядных двоичных представлений знакопозиций $$m_1^A$$ и $$m_2^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
параллельно с этим, в третьем ÷ n-ом вычислительном ядре процессора аналогичным образом выполняется операция умножения $$m_3^C={\left|m_3^A\cdot m_3^B\right|}_{p3}÷m_n^C={\left|m_n^A\cdot m_n^B\right|}_{pn}$$ по модулю p₃÷p_n q-разрядных двоичных представлений знакопозиций $$m_3^A$$ ÷ $$m_n^A$$ и $$m_3^B$$ ÷ $$m_n^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
параллельно с этим, в (n+1)-м вычислительном ядре процессора выполняется сложение двоичных порядков λ_A и λ_B, а также сложение по модулю два s_C=|s_A+s_B|₂ знаков s_A и s_B чисел А и В соответственно;
при условии, что g<n+1, т.е. если число оснований системы остаточных классов используемых для представления модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A=\langle m_1^A,m_2^A,\dots ,m_n^A\rangle$$ и $${\tilde{M}}_B=\langle m_1^B,m_2^B,\dots ,m_n^B\rangle$$ чисел А и В соответственно равно числу вычислительных ядер универсального вычислителя, либо превышает его, и в каждое j-ое вычислительное ядро из первых (g-1) вычислительных ядер процессора загружено w_j знакопозиций $$m_{i\cdot (g-1)+j}^A$$ и $$m_{i\cdot (g-1)+j}^B$$ , i=0,1,…,w_j-1, то:
в первом вычислительном ядре процессора для всех i=0,1,…,w₁-1 последовательно выполняются операции умножения $$m_{i\cdot (g-1)+1}^C={\left|m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B\right|}_{p_{{}_i}\cdot (g-1)+1}$$ по модулям p_i·(g-1)+1, q-разрядных двоичных представлений всех w₁ загруженных в него знакопозиций $$m_{i\cdot (g-1)+1}^A$$ и $$m_{i\cdot (g-1)+1}^B$$ , модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A=\langle m_1^A,m_2^A,\dots ,m_n^A\rangle$$ и $${\tilde{M}}_B=\langle m_1^B,m_2^B,\dots ,m_n^B\rangle$$ чисел A и B соответственно, путем нахождения значений $${\left|m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B\right|}_{p_{{}_i}\cdot (g-1)+1}=m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B-\lfloor \frac{m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B}{p_{i\cdot (g-1)+1}}\rfloor \cdot p_{i\cdot (g-1)+1}$$ , где $$\lfloor \frac{m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B}{p_{i\cdot (g-1)+1}}\rfloor$$ - наибольшее целое, не превышающее $$\frac{m_{i\cdot (g-1)+1}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+1}^B}{p{i}_{\cdot (g-1)+1}}$$ ; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
параллельно с этим, во втором вычислительном ядре процессора аналогичным образом для всех i=0,1,…,w₂-1 последовательно выполняются операции умножения $$m_{i\cdot (g-1)+2}^C={\left|m_{i\cdot (g-1)+2}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+2}^B\right|}_{p_{{}_i}\cdot (g-1)+2}$$ по модулям p_i·(g-1)+2, q-разрядных двоичных представлений всех w₂ загруженных в него знакопозиций $$m_{i\cdot (g-1)+2}^A$$ и $$m_{i\cdot (g-1)+2}^B$$ , модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел А и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
параллельно с этим в третьем ÷(g-1)-M вычислительном ядре процессора аналогичным образом последовательно для всех i=0,1,…,w₃-1÷i=0,1,…,w_g-1-1 выполняются операции умножения $$m_{i\cdot (g-1)+3}^C={\left|m_{i\cdot (g-1)+3}^A\cdot m_{i\cdot (g-1)+3}^B\right|}_{p_{{}_i}\cdot (g-1)+3}$$ ÷ $$m_{(i+1)\cdot (g-1)}^C={\left|m_{(i+1)\cdot (g-1)}^A\cdot m_{(i+1)\cdot (g-1)}^B\right|}_{p_{(i+1)\cdot (g-1)}}$$ по модулям p_i·(g-1)+3÷p_(i+1)·(g-1) q-разрядных двоичных представлений всех w₃÷w_g-1 загруженных знакопозиций $$m_{i\cdot (g-1)+3}^A÷m_{(i+1)\cdot (g-1)}^A$$ и $$m_{i\cdot (g-1)+3}^B÷m_{(i+1)\cdot (g-1)}^B$$ модулярных мантисс $${\tilde{M}}_A$$ и $${\tilde{M}}_B$$ чисел A и В соответственно; все операции являются целочисленными и выполняются в позиционной двоичной системе счисления;
параллельно с этим в g-м вычислительном ядре процессора выполняется сложение двоичных порядков λ_A и λ_B, а также сложение по модулю два s_C=|s_A+s_B|₂ знаков s_A и s_B чисел А и В соответственно;
в результате выполнения данных операций получается произведение $$\text{C=}\left[\langle {\text{m}}_{\text{1}}^{\text{C}},m_2^C,\dots m_n^C\rangle ,{\lambda }_C,s_C\right]$$ чисел $$\text{A=}\left[\langle {\text{m}}_{\text{1}}^{\text{A}},m_2^A,\dots m_n^A\rangle ,{\lambda }_A,s_A\right]$$ и $$\text{B=}\left[\langle {\text{m}}_{\text{1}}^{\text{B}},m_2^B,\dots m_n^B\rangle ,{\lambda }_B,s_B\right]$$ , представленное в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой.