Способ вейвлет-преобразования сигнала произвольной формы

Изобретение относится к области измерений, вычислительной техники и предназначено для прямого и обратного преобразования и фильтрации сигналов произвольной формы. Техническим результатом является уменьшение среднеквадратичной погрешности, максимального уклонения и ступенчатости восстановленного сигнала. Способ заключается в том, что используют ортогональные пилообразные вейвлет-напряжения, которые формируют интегрированием напряжений Уолша, формируют однополярные импульсы из напряжений Уолша, умножают пилообразные напряжения с числами секвент 4, 8 и 16 на однополярные импульсы напряжений, в результате чего формируют пилообразные вейвлет-напряжения, которые умножают на напряжения сигнала, интегрируют эти произведения на промежутках длиной 2l и, используя полученные значения интегралов, вычисляют значения коэффициентов преобразования b_n в виде напряжений; при обратном преобразовании сигнала по пилообразным напряжениям: параллельно умножают ортогональные пилообразные напряжения на напряжения, соответствующие значениям коэффициентов разложения; параллельно суммируют полученные напряжения, восстанавливают сигнал либо, положив отдельные коэффициенты b_n=0, фильтруют сигнал. 5 ил.

 

Изобретение относится к области измерений, вычислений, импульсной техники и предназначено для прямого и обратного преобразования, а также анализа сигналов произвольной формы.

Известны вейвлет-преобразования Добеши, Морле, FHAT, MHAT, Хаара [1, 2, 3, 4].

С помощью различных базисов можно полнее выявить и подчеркнуть те или иные свойства, содержащиеся в сигналах.

Подавляющее большинство материнских вейвлетов и базисов на их основе являются достаточно сложными функциями [1]. Приложение 1. Стр. 43.

Генерация напряжений, тождественно изменяющихся в соответствие с функциями материнских вейвлетов [1], получение сжатых и сдвинутых таких вейвлетов затруднено, и поэтому для реализации вейвлет-преобразований используют дискретизированные вейвлет-преобразования [4, 5]. При этом скорость, объем и сложность вычислений имеют существенную роль.

Наиболее простым непрерывным быстродействующим вейвлет-преобразованием, требующим минимум операций умножения, является преобразование, основанное на использовании вейвлет-напряжений Хаара, полученных путем сжатия и сдвига (прототип) [2]. Приложение 2. Стр. 64, 65..

Однако преобразование Хаара при преобразовании непрерывных сигналов обладает существенным недостатком, заключающимся в значительной ступенчатости восстановленного сигнала, обусловленной тем, что вейвлеты Хаара принимают только три значения ±1 и ноль, формирующих безусловный базис [1]. Стр. 17. Графики вейвлет-напряжений Хаара приведены на фиг. 1 [2].

Ступенчатость восстановленного сигнала влечет за собой значительную среднеквадратичную погрешность и существенное уклонение восстановленного сигнала от исходного.

Вейвлет-преобразование Хаара по структуре построения базиса наиболее близко к предлагаемому способу, основанному на использовании пилообразного вейвлет-напряжения, которое в результате сжатия и сдвига формирует ортогональный базис пилообразных вейвлетов.

Базисные вейвлеты Хаара в виде напряжений формируют в результате следующих операций [2]. Стр. 64, 65. Приложение 2.

Первые два вейвлет-напряжения в этом преобразовании har(0, 0, t) и har(0, 1, t) формируют в виде напряжений Уолша Wal(0, t) и Wal(1, t) [2]. Приложение 2.

Для формирования следующих вейвлетов сжимают вейвлет har(0, 1, t) в два раза на промежутке от 0 до $$\frac{1}{2}$$ , получают вейвлет har(1, 1, t). Вейвлет har(1, 1, t) сдвигают на промежуток от $$\frac{1}{2}$$ до 1, получают вейвлет har(1, 2, t).

Далее сжимают вейвлет har(1, 1, t) в два раза на промежутке от 0 до $$\frac{1}{4}$$ , получают вейвлет har(2, 1, t). Вейвлет har(2, 1, t) сдвигают на промежуток от $$\frac{1}{4}$$ до $$\frac{1}{2}$$ , получают вейвлет har(2, 2, t). Далее вейвлет har(2, 2, t) сдвигают еще на $$\frac{1}{4}$$ и еще на $$\frac{1}{4}$$ , получают вейветы har(2, 3, t) и har(2, 4, t).

Каждый новый вейвлет формируется в результате нового сжатия и сдвига.

Из графиков напряжений преобразования Хаара фиг. 1 следует, что сжатие и сдвиг напряжений выполнены так, чтобы напряжения от har(0, 0, t) до har(3, 8, t) образовывали ортогональный базис.

Для прямого преобразования напряжений сигнал F(t) умножают на вейвлет-напряжения Хаара, затем вычисляют значения интеграла на промежутке преобразования от напряжений произведений, используя значения этих интегралов, вычисляют коэффициенты преобразования, а при обратном преобразовании вейвлет-напряжения умножают на напряжения, тождественные коэффициентам преобразования, полученные напряжения суммируют и тем самым восстанавливают сигнал.

Для сравнения качественных и количественных характеристик преобразования Хаара и предлагаемого преобразования по пилообразным вейвлет-напряжениям используем среднеквадратичную погрешность [6]

и наибольшее уклонение восстановленного сигнала G(t) исходного F(t)

Преобразуемый сигнал представим в следующем виде:

где t - время;

[…] - выделение целой части.

В результате преобразования сигнала F(t) по напряжениям, изменяющимся тождественно функциям Хаара на промежутках от 0 до π и от π до 2π, получены коэффициенты:

a0(0)=0,637	a6(0)=0,392	a12(0)=0,151
a1(0)=0	a7(0)=-0,139	a13(0)=0,186
a2(0)=-0,264	a8(0)=-0,096	a14(0)=-0,05
a3(0)=0,264	a9{0)=-0,081	a15(0)=-0,036
a4(0)=-0,179	a10(0)=-0,054
a5(0)=-0,074	a11(0)=-0,019
a0(1)=-0,637	a6(1)=-0,074	a12(1)=-0,019
a1(1)=0	a7(1)=-0,179	a13(1)=-0,054
a2(1)=0,264	a8(1)=0,228	a14(1)=-0,081
a3(1)=-0,264	a9(1)=0,213	a15(1)=-0,096
a4(1)=0,497	a10(1)=-0,077
a5(1)=-0,244	a11(1)=-0,113

Графики исходного сигнала F(t), восстановленного $${\widehat{F}}_x(t)$$ и уклонения $${\Delta }_x(t)$$ (V) приведены на фиг. 2.

Из графика $${\widehat{F}}_x(t)$$ преобразования по вейвлетам Хаара очевидна ступенчатость восстановленного сигнала $${\widehat{F}}_x(t)$$ $$$$ . Уклонение восстановленного сигнала $${\widehat{F}}_x(t)$$ в отдельных точках от исходного сигнала F(t) составляет $${\Delta }_x=\mathrm{0,239}$$ , а среднеквадратичная погрешность - $${\epsilon }_x^2=\mathrm{1,605}\cdot {10}^{-3}$$ .

В результате преобразования исходного сигнала F(t) по предлагаемым пилообразным вейвлета-напряжениям (4) на промежутках от 0 до π и от π до 2π получены коэффициенты разложения

b0(0)=0,637	b6(0)=-0,035	b12(0)=-9,429·10-3
b1(0)=0	b7(0)=-0,035	b13(0)=-0,062
b2(0)=-0,522	b8(0)=-0,015	b14(0)=0,044
b3(0)=-0,105	b9(0)=-1,876·10-3	b15(0)=0,047
b4(0)=0,503	b10(0)=-5,341·10-3	b16(0)=-0,054
b5(0)=-0,015	b11(0)=-7,993·10-3
b0(1)=-0,637	b2(1)=0,522	b4(1)=0,105
b1(1)=0	b3(1)=0,713	b5(1)=0,015
b6(1)=0,035	b10(1)=0,058	b14(1)=7,993·10-3
b7(1)=0,035	b11(1)=0,06	b15(1)=5,341·10-3
b8(1)=0,015	b12(1)=-0,043	b16(1)=1,876·10-3
b9(1)=-0,05	b13(1)=9,429·10-3

Результат преобразования сигнала F(t) по пилообразным вейвлет-напряжениям представлен графиками исходного и восстановленного сигнала на фиг. 3.

Средняя квадратичная погрешность преобразования сигнала F(t) $${\epsilon }_{п}^2=\mathrm{2,529}\cdot {10}^{-4}$$ и максимальное уклонение $${\Delta }_{п}=\mathrm{0,065}$$ .

Сравнивая погрешности преобразования по напряжениям Хаара $${\epsilon }_x^2=\mathrm{1,605}\cdot {10}^{-3}$$ и $${\Delta }_x=\mathrm{0,239}$$ и погрешности преобразования по вейвлет-напряжениям, находим, что средняя квадратичная погрешность $${\epsilon }_{п}^2$$ примерно в четыре раза меньше $${\epsilon }_x^2$$ , а максимальное уклонение $${\Delta }_{п}$$ во много раз меньше $$$$ $${\Delta }_x$$ .

Сравнение результатов преобразований свидетельствует об эффективности предлагаемого преобразования.

Целью изобретения является уменьшение ступенчатости восстановленного сигнала, снижение максимального уклонения восстановленного сигнала $$\widehat{F}(t)$$ от исходного F(t) и среднеквадратичной погрешности преобразования.

Поставленная цель достигается тем, что в предлагаемом преобразовании из напряжений Уолша с числами секвент 0, 1, 2, 4, 8 формируют пилобразные напряжения с числами секвент 1, 2, 4, 8, 16. Пилообразные напряжения с числами секвент 4, 8, 16 умножают на группы однополярных ортогональных импульсов и тем самым формируют пилообразные ортогональные вейвлет-напряжения, тождественно изменяющиеся в соответствии с равенствами

где

t - время;

l - полупериод функции Gav₁(t);

[…] - выделение целой части.

Графики пилообразных вейвлет-напряжений (4) приведены на фиг. 4.

Сравнивая структуру расположения функций har(1, k, n) фиг. 1 со структурой расположения пилообразных вейвлетов напряжений (4) фиг. 4, находим, что структура построения напряжений базисных функций одинакова, поэтому способ преобразования Хаара, как наиболее близкий, выбран в качестве прототипа.

Коэффициенты разложения сигнала F(t) по напряжениям (4) определяются из равенств

Предлагаемый способ реализуется следующим образом.

Напряжения генератор Уолша [2, (стр. 166)] фиг. 5 (Приложение 4, стр. 166) с числами секвент s=2ⁱ-1, где i=0, 1, 2, 4, 8:

,

где $$i=\overline{\mathrm{1,}N}$$ , t - время, l - полупериод функции Уолша Wal(1, t), принимающие значения ±1 на промежутках длиной $$h_i=\frac{l}{2^{i-1}}$$ , усиливают/ослабляют в зависимости от величины полупериода напряжения Wal(2ⁱ-1, t) на величины $$b_i=\frac{2^{i-1}}{l}$$ , формируют двуполярные напряжения

.

С помощью интегратора на операционном усилителе [7] (Приложение 5, стр. 127-129) интегрируют напряжения $${\eta }_{2^i-1}$$ , в результате этого формируют однополярные пилообразные напряжения, с учетом инвертирования напряжения операционным усилителем

где подынтегральная функция в (6) принимает значения ±1, а интеграл представляет сумму интегралов на промежутках длиной $$\frac{l}{2^{i-1}}$$ :

На четных промежутках интегрирования [2(j-1)l, (2j-1)l] подынтегральная функция в (6) принимает значения +1, значения которой записывается в следующем виде:

а на нечетных промежутках [(2j-1)l, 2jl]:

где $$i=\overline{\mathrm{1,}N}$$ .

С учетом значений подынтегральной функции из (7) и (8) напряжение (6) принимает вид

Используя начальное условие интегрирования на каждом промежутке, формируют однополярные пилообразные напряжения

Полученные напряжения (9) суммируют с напряжением $$U_0(t)=\frac{1}{2}{(-1)}^{\left[\frac{0\cdot t}{l}\right]}=\frac{1}{2}$$ , формируют двуполярные пилообразные напряжения

с амплитудой $$\pm \frac{1}{2}$$ .

Напряжения $${\alpha }_{2^i}(t)$$ усиливают в два раза, формируют пилообразные напряжения с амплитудой ±1.

Полагая в (10) i=0, 1, 2, 3, 4, получают пилообразные напряжения

Параллельно напряжения генератора Уолша (Приложение 4) Wal(2ⁱ-1, t) суммируют с напряжением $$Q(t)={(-1)}^{\left[\frac{0\cdot t}{l}\right]}=1$$ , а результат делят на два, формируют однополярные прямоугольные импульсы напряжений

Затем из напряжений $$Q(t)={(-1)}^{\left[\frac{0\cdot t}{l}\right]}=1$$ вычитают напряжения $$Q_{2^i-1}(t)$$ , формируют напряжения

В (12) и (13) полагают i=0, 1, 2, 3, 4, формируют напряжения $$Q_{2^i-1}(t)$$ и $${\overline{Q}}_{2^i-1}(t)$$ , которые умножают в следующих сочетаниях:

формируют группы однополярных ортогональных напряжений.

График напряжений групп ортогональных однополярных напряжений приведен на фиг. 5.

Напряжения Ga₁(t) и Ga₂(t) из (11) сохраняют без изменения и обозначают Gav₁(t) и Gav₂(t), а напряжение Ga₄(t) умножают на ортогональные напряжения $${\gamma }_{\mathrm{1,1}}(t)$$ и $${\gamma }_{\mathrm{1,2}}(t)$$ , формируют пилообразные напряжения

Напряжения Ga₈(t) умножают на напряжения группы ортогональных $${\gamma }_{\mathrm{2,1}}(t)-{\gamma }_{\mathrm{2,4}}(t)$$ , формируют пилообразные напряжения

а умножая напряжения Ga₁₆(t) на напряжения $${\gamma }_{\mathrm{3,1}}(t)-{\gamma }_{\mathrm{3,8}}(t)$$ , формируют пилообразные напряжения

Сформированные напряжения Ga₁(t), Ga₂(t), (15)-(17) дополняют напряжением $$G{a}_0(t)={(-1)}^{\left[\frac{0\cdot t}{l}\right]}=1$$ и объединяют в базис ортогональных пилообразных напряжений.

После подстановки в (15)-(17) напряжений из (11) и групп ортогональных импульсов $$\gamma (t)$$ из (14) формируют базисные пилообразные вейвлет-напряжения (4).

Сформированные напряжения Gav₀(t)-Gav₁₆(t) параллельно умножают на напряжение сигнала F(t), например, с помощью схем АD539 [8] (Приложение 6), начиная с $${\Psi }_0(t)=F(t)Ga{v}_0(t)$$ до $${\Psi }_{16}(t)=F(t)Ga{v}_{16}(t)$$ . Затем параллельно интегрируют напряжения от произведений, вычисляют значения интегралов [7] на промежутках длиной 2l

,

где $$n=\overline{\mathrm{0,16}}$$ ; $$j\in N$$ , а из (5) при прямом преобразовании вычисляют коэффициенты преобразования b_n по пилообразным вейвлет-напряжениям (4).

При обратном преобразовании напряжения, соответствующие значениям коэффициентов преобразования b_n, параллельно умножают на соответствующие пилообразные вейвлет-напряжения (4), формируют напряжения $${\beta }_n(t)=b_{n}Ga{v}_n(t)$$ , которые параллельно суммируют и тем самым восстанавливают сигнал $${\widehat{F}}_{п}(t)$$ или фильтруют, положив отдельные коэффициенты b_n, равные нулю

.

Источники информации

1. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 464 С.

2. Хармут Х.Ф. Теория секвентного анализа. Основы и применения. - М.: Мир, 1980.

3. Прэтт У. Цифоровая обработка изображений / Пер. с англ. - М.: Мир. Т. 1, 2. 1982.

4. Сапрыкин В.А., Малый В.В., Лопухин Р.В. Патент РФ №2246132 С2. «Способ и устройство быстрого вычисления вейвлет-преобразования сигнала с произвольным шагом дискретизации масштабных коэффициентов». 10.02.2005.

5. Хамухин А.А. Патент РФ №2437147 С1. «Устройство для вычисления дискретизированного непрерывного сигнала.

6. Смирнов В.И. Курс высшей математики. - М.: Наука, 21 изд. стереот. Т. 2. - 1974. - 656 с.

7. Фолькенберри Л.М. Применение операционных усилителей и линейных ИС. - М.: Мир, 1985. - 572 с.

8. Микросхема AD539 умножения аналоговых сигналов. http://www/analog.com/static/imported-files/data_sheets/AD539/pdf.

Способ вейвлет-преобразования сигнала произвольной формы, содержащий при прямом преобразовании параллельное формирование напряжений Хаара из напряжений Уолша умножения этих напряжений на напряжение сигнала, интегрирование напряжений от произведений напряжений Хаара на напряжения сигнала, отсчитывание, вычисление и запоминание коэффициентов преобразования Хаара, при обратном преобразовании сигнала умножение коэффициентов преобразования в виде напряжений на соответствующие напряжения Хаара и суммирование полученных напряжений, восстанавливающее сигнал, отличающийся тем, что из напряжений Уолша с числами секвент 0, 1, 2, 4 и 8 путем интегрирования, формируют пилообразные напряжения с числами секвент 1, 2, 4, 8 и 16, пилообразные напряжения с числами секвент 4, 8 и 16 умножают на группы однополярных прямоугольных импульсов, формируют пилообразные вейвлет-напряжения, изменяющиеся в соответствие со следующими равенствами:



где
t - время;
l - полупериод изменения пилообразного напряжения с числом секвент, равным единице;
[…] - выделение целой части,
- ортогональные пилообразные вейвлет-напряжения от Gav₀(t)-Gav₁₆(t) параллельно умножают на напряжения сигнала F(t);
- параллельно вычисляют значения интегралов от произведений напряжения сигнала на вейвлет-напряжения на промежутке длиной 2l;
- из значений интегралов вычисляют коэффициенты преобразования по пилообразным вейвлет-напряжениям b_n в виде напряжений в соответствии со следующими равенствами:

при обратном преобразовании (восстановлении, фильтрации) сигнала по пилообразным вейвлет-напряжениям
параллельно умножают пилообразные вейвлет-напряжения Gav₀(t)-Gav₁₅(t) на напряжения b₀-b₁₅, полученные напряжения параллельно суммируют, восстанавливают сигнал либо, положив отдельные коэффициенты b₀=0, фильтруют сигнал.