Способ восстановления входного сигнала, прошедшего через фильтр с известной характеристикой
Способ восстановления входного сигнала, прошедшего через фильтр с известной характеристикой позволяет решать задачу во временной области, без использования преобразований из временной области в частотную и обратно. Способ заключается в измерении с заданным шагом дискретизации N значений выходного сигнала, объединении полученных значений в вектор измерений дискретизации с тем же шагом импульсной характеристики фильтра h(t) и формировании матрицы где hi=h(iT), восстановлении входного сигнала в форме вектора
расчетным путем, решая относительно
уравнение
например, методом псевдообращения по формуле
где индекс + обозначает операцию псевдообращения матрицы,
- вектор, компонентами которого являются значения восстановленного входного сигнала с шагом дискретизации T. Достигаемый технический результат заключается в уменьшении вычислительных затрат, повышении точности восстановления сигнала и расширении области применения способа на одиночные короткие импульсы. 2 ил.
Изобретение относится к технике измерений токов или напряжений и может быть использовано для восстановления сигнала, прошедшего через фильтр с известной характеристикой.
Во многих случаях электрические сигналы, несущие информацию, не могут быть измерены непосредственно. Они проходят различного рода электрические цепи, в том числе обладающие фильтрующими свойствами. Таким образом, имеем дело с определенными вносимыми устройствами искажениями, которые желательно устранить и восстановить исходный входной сигнал.
Известен способ (прототип) восстановления входного сигнала, прошедшего через фильтр с известной характеристикой [1], который называется инверсной фильтрацией. Способ-прототип заключается в том, что по измеренному временному выходному сигналу фильтра определяют его частотное представление Y(ω), вместо импульсной характеристики фильтра также используют ее частотное представление - передаточную функцию H(ω), находят спектр входного сигнала расчетным путем по формуле 
после чего по спектру входного сигнала находят его оригинал - временной сигнал 
Недостатки прототипа следующие.
1) В общем случае найти спектральное представление выходного сигнала Y(ω) весьма сложно. Обусловлено это следующим. Для нахождения спектра необходимо измерить весь сигнал, иначе спектр окажется искаженным. В случае непрерывного сигнала сделать это практически невозможно, в результате чего выходной сигнал при формировании его спектра воспринимается как ограниченный интервалом измерения и в спектре его появляются несуществующие частоты. Наоборот, при конечном во времени выходном сигнале ширина его спектра будет в пределе бесконечно большой, в этом случае будем иметь дело с обрезанием высоких частот спектра сигнала. В обоих случаях это приводит к неизбежным искажениям. В результате искаженным получится и спектр входного сигнала.
2) Как определение спектра выходного сигнала, так и восстановление временного входного сигнала по его спектру сопряжено с существенными вычислительными затратами. Фактически, речь идет о цифровой реализации прямого и обратного преобразований Фурье.
3) Способ-прототип не приспособлен в принципе для восстановления одиночных коротких импульсов, поскольку ширина их спектров стремится к бесконечности, получить ее приведенной выше вычислительной процедурой невозможно.
Технической задачей данного изобретения является повышение точности и уменьшение вычислительных затрат при восстановлении входного сигнала, прошедшего через фильтр с известной характеристикой, а также расширение области применения способа на одиночные короткие импульсы.
Поставленная задача достигается тем, что в способе восстановления входного сигнала, прошедшего через фильтр с известной характеристикой, заключающемся в измерении выходного сигнала фильтра и восстановлении расчетным путем входного сигнала по этим измерениям и информации о характеристике фильтра, согласно изобретению задают шаг дискретизации по времени T, с которым необходимо восстановить входной сигнал, определяют число дискрет N такое, что N⋅Т=Θ, где Θ - временной интервал, на котором требуется восстановить входной сигнал, с заданным шагом дискретизации измеряют N значений выходного сигнала и объединяют полученные значения в вектор измерений 
где верхний индекс T обозначает транспонирование, t=0 - начало отсчета, t - время, y(t) - выходной сигнал фильтра, с этим же шагом дискретизируют импульсную характеристику фильтра h(t) и из полученных дискретных значений формируют матрицу
где hi=h(iT), восстанавливают входной сигнал в форме вектора 
расчетным путем, решая относительно 
уравнение 
например, методом псевдообращения по формуле 
где индекс + обозначает операцию псевдообращения матрицы, 
- вектор, компонентами которого являются значения восстановленного входного сигнала с шагом дискретизации T.
Принципиальным отличием предлагаемого способа является то, что вся обработка проводится во временной области без перехода к спектральному представлению сигналов и характеристики фильтра. При этом теоретически искажающие факторы вообще отсутствуют, если не считать дискретного представления сигналов, которое неизбежно и в прототипе.
Обоснование способа.
Обозначим искомый входной сигнал как 
Он поступает на вход фильтра с известной импульсной характеристикой h(t). Выходной сигнал обозначим как y(t) и представим его известным соотношением - сверткой входного сигнала с импульсной характеристикой фильтра
Задача состоит в восстановлении входного сигнала 
на заданном временном интервале Θ. Восстанавливать сигнал будем в дискретизированной форме в виде вектора 
состоящего из дискретных значений сигнала.
Зададим шаг дискретизации T, с которым необходимо восстановить входной сигнал. Определим число дискрет N такое, что N⋅T=Θ, где Θ - временной интервал, на котором требуется восстановить входной сигнал. Теперь известен размер искомого вектора 
он включает N компонент: 
где верхний индекс T обозначает транспонирование, t=0 - начало отсчета.
Перейдем от интеграла (1) к интегральной сумме с выбранным шагом дискретизации по времени T: 
где i - номер отсчета, N - число отсчетов.
Обозначим wi(t)=Th(t-iT), 
С учетом этих обозначений получим
где 
- вектор характеристики фильтра, выполняющий роль весового вектора, 
- искомый вектор входного сигнала.
Заметим, что вектор 
известен для любого заданного t, поскольку определяется он априори известной импульсной характеристикой цепи.
С заданным ранее шагом дискретизации измерим N значений выходного сигнала и объединим полученные значения в вектор измерений 
Необхоимо выбрать именно N отсчетов выходного сигнала: если отсчетов будет K<N, то N-K дискрет не отобразятся в выходной выборке, а если взять число отсчетов выходного сигнала K>N, то это будет эквивалентно тому, что входной сигнал закончился на N-й дискрете, а остальные (K-N) дискрет на входе - нулевые. При входном сигнале, длительность которого превышает N⋅Т это внесет искажение при последующем восстановлении.
Полученные выборочные значения выходного сигнала представим интегральными суммами аналогично (2):
С тем же шагом T дискретизируем импульсную характеристику фильтра h(t), как показано на фиг. 1, где hi=h(iT). С учетом приведенных на фиг. 1 обозначений, запишем структуру весовых векторов, входящих в (3):
Представим теперь систему равенств (3) в виде векторно-матричного уравнения
где 
Восстанавливаем входной сигнал расчетным путем, решая уравнение (4), например, методом псевдообращения по формуле
где индекс + обозначает операцию псевдообращения матрицы.
Получаем вектор 
компонентами которого являются значения восстановленного входного сигнала с шагом дискретизации T. Сигнал восстанавливается на интервале Θ=N⋅Т.
Метод псевдообращения наиболее универсальный, он позволяет решить задачу даже при вырожденной матрице W. Однако структура этой матрицы, если h0≠0, позволяет рассчитывать на ее несингулярность. В этом случае (WT)+=(WT)-1 и решение находится с помощью обращения матрицы:
Как явствует из выражений (5) и (6), задача восстановления сигнала, прошедшего через фильтр с известной характеристикой, решается посредством вычислительной обработки измеренных значений выходного сигнала. При этом матрица W может быть сформирована заранее при заданных значениях N и T. Соответственно, заранее можно вычислить матрицу восстановления (WT)+ или (WT)-1. После этого в оперативном режиме останется провести нужное число замеров и умножить их слева на вычисленную заранее матрицу.
На фиг. 2 представлено моделирование работы предложенного способа - восстановление экспоненциального импульса, прошедшего через колебательный контур. Моделирование проводилось в среде MATLAB. На фиг. 2 а) - входной сигнал 
б) - импульсная характеристика фильтра h(t), в) - выходной сигнал y(t), г) - восстановленный сигнал 
Шаг дискретизации при моделировании составлял T=200 мкс. Имитация выходного сигнала осуществлялась посредством вычисления свертки входного сигнала и импульсной характеристики фильтра с шагом, составляющим 0.2T. Временной интервал Θ, на котором определяется восстанавливаемый сигнал 
взят от 0 до 50 мс.
Импульсная характеристика колебательного контура задана формулой h(t)≈ω0 exp(-αt)sin(ω0t), где α - коэффициент затухания, ω0 - собственная частота контура. Моделирование проведено с параметрами колебательного контура ω0=500 рад/с, α=50 Гц.
Как видно из фиг. 2, предлагаемый способ позволил качественно восстановить входной сигнал.
Преимущества предлагаемого способа по сравнению с прототипом следующие.
1) Предлагаемый способ позволяет восстанавливать входной сигнал без использования частотных представлений сигналов - входного и выходного. Отсутствие переходов в частотную область и обратно позволяет избежать искажений результата, характерных для соответствующих преобразований.
2) Предлагаемый способ реализуется с существенно меньшими вычислительными затратами, чем прототип, поскольку в нем отсутствуют две вычислительно емкие процедуры - вычисления прямого и обратного преобразований при нахождении спектрального представления выходного сигнала и обратного преобразования изображения входного сигнала.
3) Полезным свойством предлагаемого способа является возможность априори, еще до проведения измерений сигнала на выходе цепи, рассчитать матрицу восстановления (WT)+ или (WT)-1. Это позволяет свести весь оперативный режим реализации способа к измерению выходного сигнала, формированию из этих измерений вектора и умножению этого вектора на заранее вычисленную матрицу восстановления. Это еще более сокращает вычислительные процедуры, а также и время восстановления сигнала.
4) Предлагаемый способ позволяет восстанавливать одиночные короткие импульсы,, поскольку эти сигналы могут быть полностью, от начала и до конца, представлены во временной области вектором 
чего невозможно достичь, например, в отношении их бесконечных спектров, которые используются при восстановлении с использованием способа-прототипа - инверсной фильтрации.
Источники информации
1. Зражевский А.Ю., Коротков В.А. Исследование восстановления сигнала, прошедшего через неидеальный фильтр низких частот. // «Журнал радиоэлектроники», №4, 2013 (прототип).
Способ восстановления входного сигнала, прошедшего через фильтр с известной характеристикой, заключающийся в измерении выходного сигнала фильтра и восстановлении расчетным путем входного сигнала по этим измерениям и информации о характеристике фильтра, отличающийся тем, что задают шаг дискретизации по времени T, с которым необходимо восстановить входной сигнал, определяют число дискрет N такое, что N⋅T=Θ, где Θ - временной интервал, на котором требуется восстановить входной сигнал, с заданным шагом дискретизации измеряют N значений выходного сигнала и объединяют полученные значения в вектор измерений 
где верхний индекс T обозначает транспонирование, t=0 - начало отсчета, t - время, y(t) - выходной сигнал фильтра, с этим же шагом дискретизируют импульсную характеристику фильтра h(t) и из полученных дискретных значений формируют матрицу
где hi=h(iT), восстанавливают входной сигнал в форме вектора 
расчетным путем, решая относительно 
уравнение 
например, методом псевдообращения по формуле 
где индекс + обозначает операцию псевдообращения матрицы, 
- вектор, компонентами которого являются значения восстановленного входного сигнала с шагом дискретизации T.
