Способ гармонического анализа сигнала для оценки математического ожидания

 

Использование: изобретение может быть использовано для определения величины математического ожидания сигнала в различных устройствах. Сущность изобретения: способ гармонического анализа сигнала для оценки математического ожидания заключается в том, что производят сравнение выходного исследуемого сигнала с опорным синусоидальным сигналом, при этом в определенные моменты времени (wt) для выбранных пар t₁, t₂ определяют модули отношения мгновенных значений двух сигналов, усредняют полученные значения, определяют значения отклонений полученных модулей отношений, которые умножают на величины опорного синусоидального сигнала, а оценку математического ожидания всего сигнала определяют по математическому ожиданию полученного произведения. 2 ил.

Изобретение относится к способам гармонического анализа сигнала и предназначено для определения математического ожидания периодических сигналов преимущественно на инфранизких частотах, изменяющихся в большом динамическом диапазоне, когда требуется точность измерений и высокое быстродействие.

Известен способ определения среднего значения сигнала [1] в соответствии с которым исследуемый сигнал непосредственно фильтруют на интервале времени, намного превышающем максимальный период изменения сигнала. Выделенная таким образом постоянная составляющая и определяет величину математического ожидания.

Такому способу присуще недостатки громоздкость фильтров на инфранизких частотах, большая погрешность при обработке сигналов малой величины, низкое быстродействие.

Известен другой способ определения математического ожидания [2] основанный на определении максимальной амплитуды сигнала, минимальной амплитуды сигнала, и алгебраическом сложении с определенным коэффициентом значений полученных амплитуд.

Способу присуще недостатки, так как необходимо заранее знать форму сигнала.

Известен другой способ гармонического анализа для оценки математического ожидания [3] по значению разности площадей, образованными положительными и отрицательными значениями сигнала.

Недостатки способа заключаются в трудности сохранения точности измерений при интегрировании сигнала на больших интервалах времени при изменении сигнала в большом динамическом диапазоне. Наиболее близким способом, взятым за прототип, является способ гармонического анализа сигнала [4] с известным периодом, основанный на преобразовании входного сигнала и измерении результата на индикаторе, в соответствии с которым выделяют временные интервалы, определенные экстремумами входного сигнала, измеряют длительность интервалов между экстремумами, сравнивают ее с заданным интервалом, находят разность указанных длительностей и по ее величине судят об относительном содержании высших гармонических составляющих в сигнале.

Способ с успехом можно использовать на инфранизких частотах, он имеет высокое быстродействие, довольно прост, однако имеет низкую точность, так как работает только при больших искажениях в исследуемом сигнале, кроме того, с его помощью можно только уточнять форму исследуемого сигнала и наличие нелинейности в сигнале.

Целью изобретения является повышение точности при расширении функциональных возможностей.

Цель в способе гармонического анализа сигнала для оценки математического ожидания, основанном на преобразовании входного сигнала и измерении результата при помощи индикатора, в соответствии с которым выделяют определенные временные интервалы для анализа, достигается тем, что формируют опорный синусоидальный сигнал с частотой, лежащей в полосе пропускания исследуемого устройства, многократно сдвигают по фазе один сигнал относительно другого, определяют модули отношения мгновенных значений входного и опорного сигналов в моменты времени t₁ и t₂, соответственно, каждый из которых равноотстоит от середины выбранного интервала полуволны своего сигнала, и по математическому ожиданию произведения величин опорного синусоидального сигнала и отклонений модулей текущих значений от их усредненного значения оценивают величину математического ожидания входного сигнала.

Предлагаемый способ использует вспомогательный способ [5] определения отношения амплитуд двух квазисинусоидальных сигналов.

Для доказательства справедливости вспомогательного способа входной квазисинусоидальный сигнал Ux(t) и опорный синусоидальный сигнал Uy(t) представим в виде отдельных функций, рассматриваемых на интервалах времени, не содержащих сигналов, равных нулю: Ux(t) Ux(bj); Uy(t)Uy(bj), где t текущее время; Ux(bj), Uy(bj) соответственно, входной и опорный сигнал, на рассматриваемых интервалах времени bj.

Периодические сигналы Ux(bj) и Uy(bj) на одноименных по j интервалах времени bj будем аппроксимировать в виде фрагментов синусоид, для которых с некоторым приближением справедливы соотношения: Ux(bj) Ax sin(wt + Fx); (1') Uy(bj) Ay sin(wt + Fy), (2') где Ax, Ay значения амплитуд, аппроксимирующих сигналов; w значения круговой частоты сигналов; Fx, Fy начальные фазы, исследуемых сигналов.

Рассмотрим функцию отношения мгновенных значений двух сигналов из выражений (1'), (2'), обозначив искомое отношение амплитуд через Ka Ax/Ay, тогда: f(bj) Ka[sin(wt + Fx)]/sin(wt + Fy), (3') где f(bj) функция на интервале времени bj, определяемая отношением мгновенных значений двух сигналов Ux(bj) и Uy(bj).

Найден такой момент времени to на интервале bj, когда значение функции f(bj) равнялось бы значению отношения амплитуд Ka. В этом случае f(to)= Ka, следовательно: [sin(wto + Fx)]/[sin(wto + Fy)] 1 (4') Обозначим левую часть выражения (4') через L и применим формулу для синуса суммы двух углов, тогда:
L (sinwt cosFx+sinFx coswt)/(sinwt cosFy+sinFy coswt).

После преобразования получим:
L (tgwt cosFx+sinFx)/(tgwt cosFy+sinFy) (5')
Анализируя сигналы на интервале bj, в зависимости от значения знака разности фаз F0 Fx-Fy, можно приравнять нулю либо значение Fx, либо значение Fy.

При различных сдвигах фаз между сигналами, выполнение условия (4') сводится к выполнению следующего требования:
cosFo+sinFo/[tg(2π/T)to] = 1, (6ʹ)
где T период сигналов, с; t0 искомый момент времени, с.

Обозначим (2π/T)to = D значение угла, определяемое моментом времени t0 на интервале времени, соответствующем периоду T. Выражение (6') перепишем в следующем виде:
tgD sinF0/(1 cosF0). (7')
Воспользуемся формулой для функций половинного аргумента:
sinF0/(1 cosF0) ctg(F0/2). (8')
Тогда
tgD ctg(F0/2). (9')
После преобразования получим:
tgD tg[90^o (F0/2)] (10')
tgD tg[(180^o F0)/2] (11')
Из равенства (11') получаем выражение для D:
D (180^o F0)/2. (12')
Из (12') определяем положение точки t0, на интервале bj. Угол 180 соответствует полупериоду, поэтому положение точки t0 на интервале bj соответствует половине интервала времени, лежащего внутри одного из полупериодов, из которого исключен интервал времени, соответствующий сдвигу фаз между сигналами. Можно утверждать, что этот момент времени t0, находится на одинаковом расстоянии от середин исследуемых сигналов, см. фиг.1.

Таким образом доказано, что при любых фазовых сдвигах между гармоническими сигналами существует момент времени t0 внутри каждой полуволны, равноотстоящий от середин входного и опорного сигналов, где отношение модулей этих сигналов равно отношению амплитуд двух синусоидальных сигналов.

Очевидно, что в момент времени t0 на средине интервала, равного фазовому сдвигу F0, отношение величин сигналов будет равно Ax sin(F0/2)/Ay sin(F0/2) Ax/Ay= Ka. Этот момент времени t0 является также равноотстоящим от середин сигналов, см.фиг.1.

Измерение одного сигнала можно проводить в момент времени t1, отстоящий от середины полуволны этого сигнала, к примеру, на интервал времени F0 или (π/2-Fo), а измерение другого сигнала можно проводить в момент времени t2, отстоящий от середины своего сигнала на интервал времени F0 или (π/2-Fo).

Для момента времени t1 мгновенное значение входного сигнала можно представить, как Ax sinFo = Ax cos(π/2-Fo), а мгновенное значение опорного сигнала в момент времени t2 можно представить, как Ay sinFo = Ay cos(π/2-Fo). Модуль их отношений будет равен Ka A/Ay.

Мгновенные значения входного сигнала в момент времени t''1 можно представить Ax cosF0, опорного сигнала в момент времени t''2 равно Ay cosF0. Модули их отношений будут также равны Ka Ax/Ay.

Следовательно, при определении модулей отношений сигналов в моменты времени, соответствующие времени (wt)i = (2π/T)ti, равноотстоящие от середин полуволн соответствующих сигналов, для сигналов синусоидальной формы получают при различных фазовых сдвигах одинаковые значения, равные KaK(wt)i=Ax/Ay.

Если во входном исследуемом сигнале будут искажения или постоянная составляющая, то будут и различные значения модулей отношений мгновенных значений сигналов.

На фиг. 1 показан пример определений моментов времени t0, t1, t2, равноотстоящих от середин полуволн соответствующих сигналов, при измерениях для произвольного фазового сдвига между сигналами. Для каждого фазового сдвига получают на интервале времени одного из периодов несколько пар моментов времени t1, t2; t'1, t'2; t''1, t''2 и так далее. Ax sinF0/Ay sinF0=Ka для измерений в моменты времени t1 и t2; Ax cosF0/Ay cosF0 для измерений в моменты времени t'''1 и t'''2 и так далее. Моменты времени t1 для сигналов, соответствующих значению sinF0, можно выбирать произвольно, так же как и моменты t2 для сигналов, соответствующих значению sinF0. Аналогично можно выбирать для измерения пару моментов времени t''1 и t''2, соответствующих значению cosF0. Измерения в момент времени t0 можно рассматривать, как частный случай выбора соответствующей пары.

Следовательно, при выборе соответствующих пар моментов времени получают значения модулей отношений, которые для сигнала без искажений и без наличия постоянной составляющей не отличаются между собой с учетом погрешности используемого метода сравнения. При увеличении спектральных составляющих в сигнале или при увеличении постоянной составляющей отклонения модулей отношений между собой будут увеличиваться.

Математическое ожидание Mx или среднее значение для сигнала напряжения U(t) можно определить из выражения [1]

Входной исследуемый сигнал напряжения U(t) из выражения (1) представим в следующем виде:
U(t) B sin wt + g(t) (2)
где B амплитуда синусоидального напряжения первой гармоники исследуемого сигнала; g(t) некоторая функция, значения которой изменяется во времени так, чтобы выполнялось равенство (2).

Предложим, что опорный синусоидальный сигнал U(y) U'(t) имеет частоту первой гармоники:
U'(t) A0 sin (wt+F0) (3)
где A0 амплитуда опорного синусоидального сигнала; F0 значения сдвига фаз, при которых происходят измерения.

При сравнении входного исследуемого сигнала U(t) и опорного сигнала U'(t) для каждого из фазовых сдвигов F0 будем определять значения модулей отношений K(wt)i амплитуд, тогда исследуемый сигнал U(t) можно представить в виде:
U(t) [A0 sin wt] K(wt)i (4)
где K(wt)i значение модулей отношений амплитуд, вычисленных при различных фазовых сдвигах в точках, соответствующих (wt)i = (2π/T)ti.

Если входной исследуемый сигнал синусоида, то есть g(t)=0 в (2), то при различных фазовых сдвигах получают одно и то же значение Kc, которое равно Kc B/A0, тогда U(t) будет иметь вид:
U(t) A0 Kc sin wt + g(t) (5)
Из (4) и (5) определим выражение для функции g(t):
g(t) A0 sin wt K(wt)i A0 Kc sin wt (6)
g(t) A0 sin wt [K(wt)i-Kc) (7)
Подставляя (7) в (2), получим:
U(t) B sin wt + A0 sin wt [K(wt)i-Kc] (8)
Подставляя (8) в (1), получим выражение для математического ожидания в следующем виде:


Первое слагаемое из правой части выражения (10) равно нулю, так как под интегралом синусоида, то окончательное выражение для математического ожидания примет вид:

На фиг. 2 приведена структурная схема устройства, реализующего способ. Входной исследуемый сигнал Ux(t) поступает на вход формирователя 1, на выходе которого формируется напряжение U1, пропорциональное периоду T исследуемых колебаний. Это напряжение U1 поступает на вход управляемого опорного генератора 2, на выходе которого генерируются колебания синусоидальной формы, период которых зависит от управляемого напряжения U1 и равен периоду T исследуемых колебаний.

Синусоидальное напряжение U2 амплитудой Ay амплитудой Ay с выхода опорного генератора 2 поступает на вход фазовращателя 3, на выходе которого получают синусоидальное напряжение Uy(t) то же амплитуды, которая не изменяется при изменениях фазовых сдвигов.

Таким образом, на два выхода двухлучевого осциллографа 4 поступают входной исследуемый сигнал Ux(t) и опорный синусоидальные сигнал напряжения Uy(t), имеющие между собой фазовый сдвиг, к примеру, как показано на фиг.1
Для каждого фазового сдвига F0 производят измерения мгновенных значений сигналов при выбранной паре моментов времени t1 и t2, в каждый из четырех моментов времени t0, соответствующих середине выбранных интервалов, определяют модули отношений, усредняют их значения, определяют отклонения текущих значений модулей при изменении сдвига фаз от усредненного значения, после чего определяют по величинам этих отклонений значение математического ожидания.

Для повышения разрешающей способности следует увеличивать количество фазовых сдвигов для анализа и увеличивать количество соответствующих пар моментов времени. Следует отметить, что амплитуда опорного генератора не влияет на погрешность измерений. При использовании прецизионного опорного генератора способ имеет очень высокую разрешающую способность, способ не требует использования узкополосных фильтров, что существенно повышает точность измерения на инфранизких частотах и повышает быстродействие. При использовании блока фазовращателей можно существенно повысить быстродействие, осуществляя анализ в реальном масштабе времени. Можно не проводить измерения в моменты времени t0, что значительно упрощает определение моментов времени t1 и t2, связав их с моментами равенства сигналов нулю и моментам достижения сигналов своих экстремальных значений.

Источники информации
1. Справочник по нелинейным схемам. Под ред. Шайнголда. с. 114 118.

2. Мирский Г.Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов, М. 1972, с. 100.

3. Алексеенко, Коломбет, Стародуб, Применение прецизионных аналоговых ИС. М. Сов.радио, 1980, с. 110 116.

4. Авторское свидетельство СССР N 1113751, G 01 R 23/16, 1984.

5. Патент РФ N 1825190, G 06 G 7/16, Бюл.24, 1993.

Формула изобретения

Способ гармонического анализа сигнала для оценки математического ожидания, основанный на преобразовании входного сигнала и измерении результата при помощи индикатора, в соответствии с которым выделяют определенные временные интервалы для анализа, отличающийся тем, что формируют опорный синусоидальный сигнал с частотой, лежащей в полосе пропускания исследуемого устройства, многократно сдвигают по фазе один сигнал относительно другого, определяют модули отношения мгновенных значений входного и опорного сигналов в моменты времени t₁ и t₂ соответственно, каждый которых равноотстоит от середины выбранного интервала полуволны своего сигнала, и по математическому ожиданию произведения величин опорного синусоидального сигнала и отклонений модулей текущих значений от их усредненного значения оценивают величину математического ожидания входного сигнала.

РИСУНКИ

Рисунок 1, Рисунок 2