Способ целочисленного разложения произвольных измеримых почти всюду конечных функций и сжатие образов в пространствах lp(0,1], p больше 0 и меньше 1, и s(0,1] по системам из сжатий и сдвигов одной функции рядами типа фурье

Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано в теле- и радиопередающих, теле- и радиоприемных устройствах, измерительной технике, фазометрических системах, в области информационных технологий. Техническим результатом является снижение ошибок при сжатии образов. Способ целочисленного разложения произвольных измеримых почти всюду конечных функций и сжатие образов в пространствах и по системам из сжатий и сдвигов одной функции рядами типа Фурье заключается в поступлении записи цифрового сигнала в виде функции с выхода исследуемого объекта как элемента пространства на вход персонального компьютера. В электронно-вычислительный блок записывают последовательность значений этой функции; осуществляют приближение элементов пространств по системам из сжатий и сдвигов одной функции рядами типа Фурье с целыми коэффициентами. Вводят функцию , как образующую функцию для системы кодирования, в виде таблицы или формулы. Вычисляют элементы системы, по которой будет кодироваться сигнал. Формируют цикл для вычисления коэффициентов типа Фурье; кодируют сигнал; восстанавливают сигнал декодированием. 3 ил.

 

Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано в телепередающих и радиопередающих, телеприемных и радиоприемных устройствах, измерительной технике, фазометрических системах, при составлении компьютерных программ, где необходимо разложение (в том числе целочисленное разложение) быстро растущих несуммируемых функций (атомная энергетика) в ряд по функциональным системам, а также в различных областях информационных технологий.

Известен способ сжатия вектора изображения (Патент РФ № (19)2 646 348, Опубликовано: 02.03.2018, Бюл. № 7), включающий создание эталонного вектора целевых характеристик изображения на основе вектора изображения, причем эталонный вектор включает информацию о целевых характеристиках изображения из вектора изображения; сжатие вектора изображения с помощью автокодировщика с получением сжатого вектора изображения на основе вектора изображения; распаковку сжатого вектора изображения с помощью автокодировщика с получением вектора изображения с потерями на основе сжатого вектора изображения; создание вектора целевых характеристик изображения с потерями на основе вектора изображения с потерями; сравнение эталонного вектора целевых характеристик изображения с вектором целевых характеристик изображения с потерями путем определения параметра расхождения и использование параметра расхождения для обучения автокодировщика так, что потери информации в векторе изображения с потерями, связанной с целевыми характеристиками, снижаются за счет повышенных потерь информации, связанной с дополнительными характеристиками изображения.

Однако в данном патенте нет информации, как создается эталонный вектор целевых характеристик изображения на основе вектора изображения. В современных технологиях этот вектор создается обычно с использованием системы Хаара, тригонометрической системы и вейвлет анализа [1, 2]. А вот с помощью автокодировщика происходит получение вектора изображения с потерями на основе вектора изображения. Как правило, это получается путем удаления маленьких коэффициентов при разложении по системе Хаара, тригонометрической системе и вейвлет систем и меньшие потери достигаются с помощью удаления меньших (по абсолютной величине) коэффициентов при разложении по указанным системам. У нас же другой принцип сжатия образов. У нас идет просто приближение (создание эталонного вектора целевых характеристик изображения) на основе вектора изображения к тому же с целочисленными компонентами, и при этом начальные компоненты приближенного вектора остаются и добавляются последующие, если исходное приближение нас не устраивает. Возможно, это будет оптимальное приближение исходя из установленного заранее количества компонент вектора.

Также известен способ сжатия цифровой информации с помощью эталонного электрического сигнала (патент рф № 2 482 604, опубликовано: 20.05.2013, бюл. № 14) с помощью эталонного электрического сигнала, в котором используют предварительно выбранные эталонный электрический сигнал сжатия S(N) и эталонный электрический сигнал ключей восстановления K(N), которые изменяют с помощью арифметическо-логического устройства (АЛУ) электрическими сигналами, которые соответствуют элементам информации, цифровые коды которых сжимают и в результате получают измененный эталонный электрический сигнал сжатия S(n) и измененный эталонный электрический сигнал ключей восстановления K(n), с помощью которых впоследствии выполняют восстановление исходных электрических сигналов, которые соответствуют элементам информации, цифровые коды которых были сжаты, при этом в процессе сжатия цифровые разряды эталонного электрического сигнала отображают любые изменения эталонного сигнала и, следовательно, содержат полную информацию об электрических сигналах, которые поступили для сжатия.

Однако, здесь, сжатие образов получается за счет того, что при разложении по указанным выше системам исходного сигнала многие коэффициенты просто равны нулю.

Автором ранее получен способ сжатия цифровой информации с помощью сжатия одномерных образов путем приближения элементов пространств по системам сжатий и сдвигов одной функции рядами типа Фурье с целыми коэффициентами (патент РФ № 2 681 367, опубликовано: 06.03.2019, бюл. № 7). Технический результат изобретения заключается в том, что сжатие образов можно осуществить за счет того, что при кодировании получаются целочисленные коэффициенты и много коэффициентов равно нулю. В то время как в [2] рассматриваются другие системы функций, для которых целочисленные коэффициенты получить невозможно и ошибки при вычислении коэффициентов искажают исходный сигнал. При этом получается сжатие образов без отбрасывания малых коэффициентов и коэффициенты или 0 или больше или равно 1 по абсолютной величине.

В заявляемом способе реализовано просто приближение (создание эталонного вектора целевых характеристик изображения) на основе вектора изображения к тому же с целочисленными компонентами, и при этом начальные компоненты приближенного вектора остаются и добавляются последующие, если исходное приближение нас не устраивает.

Далее мы будем использовать термины из приведенных выше примеров.

Техническая проблема заключается в необходимости создания алгоритмов, при которых при кодировании сигналов (в том числе состоящих из несуммируемых функций) получается вектор с целочисленными компонентами, чего до этого не было. Заметим, что ранее в математической литературе не было результатов о разложении несуммируемых функций в ряды типа Фурье, тем более нет конкретных алгоритмов разложения несуммируемых функций в ряды по функциональным системам.

Технический результат настоящего изобретения заключается в том, что сжатие образов (в том числе состоящих из несуммируемых функций) можно осуществить за счет того, что при кодировании получаются целочисленные коэффициенты и много коэффициентов равно нулю. В то время как в [2] рассматриваются другие системы функций, для которых целочисленные коэффициенты получить невозможно и ошибки при вычислении коэффициентов искажают исходный сигнал. При этом мы получаем сжатие образов без отбрасывания малых коэффициентов. У нас коэффициенты или 0 или больше или равно 1 по абсолютной величине.

В заявляемом способе реализовано просто приближение (создание эталонного вектора целевых характеристик изображения) на основе вектора изображения к тому же с целочисленными компонентами, и при этом начальные компоненты приближенного вектора остаются и добавляются последующие, если исходное приближение нас не устраивает. Использованы новые системы функций [3-7] и по-другому вычисляются коэффициенты кодируемого сигнала. Таким образом, обеспечивается оптимальное приближение исходя из установленного заранее количества компонент вектора. Заметим, что в [7] коэффициенты не целочисленные и получают их иначе. К тому же, в заявляемом способе при промежуточных вычислениях, допускается неточность вычислений, которая корректируется в последующих вычислениях.

Способ поясняется чертежом: фиг.1 – пример практической реализации сжатия цифрового сигнала, полученного из функции, где ступенчатая функция – это полученное приближение исходного сигнала. Способ сжатия сигналов путем приближения элементов пространств (всюду ниже коротко будем обозначать через ) и ([13] стр. 66) по системам из сжатий и сдвигов одной функции рядами типа Фурье с целыми коэффициентами реализуют следующим образом.

Цифровой сигнал в виде функции с выхода исследуемого объекта поступает как элемент пространства на вход персонального компьютера. Как правило, это аналитически (в виде формулы) заданная функция, вектор или таблица, где указано, на каком множестве какие значения эта функция принимает. Как правило, эти множества задаются в виде интервалов. Затем в электронно-вычислительный блок записывают последовательность значений этой функции.

Затем в электронно-вычислительном блоке осуществляют приближение элементов пространств по системам из сжатий и сдвигов одной функции рядами типа Фурье с целыми коэффициентами. Для этого принимают, например, допущения: по оси ox время, а по оси oy значение сигнала в данный момент времени, точность приближения Вводят функцию (как образующую функцию для системы кодирования) в виде таблицы или формулы. При этом таким образом обеспечивают большой выбор систем, по которым осуществляют обработку исходного сигнала . Пусть ([13] стр. 66)), и N достаточно большое целое, положительное, фиксированное число. Заметим, что рассуждения ниже верны и для пространства произвольных измеримых почти всюду конечных функций заданных на множестве Представим функцию в виде , где

при этом Заметим, что сходимость ряда понимается в смысле сходимости по квазинорме пространства Очевидно, что существует последовательность целых чисел такая, что

Затем вычисляют – элементы системы (где и при а подбирается специальным образом) по которой будет кодироваться сигнал, где

Затем формируют цикл для вычисления коэффициентов типа Фурье которые вычисляют исходя из как коэффициенты Фурье от с умножением на где – характеристическая функция интервала и умножением на 2^k, а затем берут целую часть полученного числа, если это число больше или равно нуля, и целую часть плюс один, если это число меньше нуля.

Заметим, что

В данном случае индекс зависит от индекса Для индекс Далее, для каждого последующего индекс остается без изменений, если в противном случае индекс увеличивается на 1 и, соответственно, к функции добавляется следующий блок функций При этом при и фиксированном .

Проверяют точность приближения Если точность приближения достигнута, то вычисления прекращают, в противном случае формируют новый цикл с Выводят для запоминания коэффициенты где – целые числа, то есть кодируют сигнал. Так как коэффициенты целые и многие равны 0 (нулевые коэффициенты игнорируем), получают сжатие образа (сигнала). Затем восстанавливают (то есть декодируют) путем составления суммы где мы получили, а заранее известны, так как мы заранее установили, что кодирование и раскодирование происходит с участием системы Таким образом, получаем удовлетворяющее поставленным условиям приближение

Заметим, что для некоторых имеем, что

Этот алгоритм верен и для

Пример 1

Для подтверждения практической реализации рассмотрим пример сжатия выходного сигнала гармонического удвоителя частоты в виде гиперболы.

Рассмотрим функцию Очевидно, что это несуммируемая функция. В работе [8] показано каким точно пространствам принадлежит данная функция Мы рассмотрим эту функцию в пространстве Пусть и

Пусть

Построим сумму

В таблице 1 даны значения коэффициентов с указанием номеров по и индексов нулевые коэффициенты мы игнорируем. В данном случае В качестве мы взяли

где и оставалось равным 0 до включительно, начиная с мы добавили и вычисления продолжались до включительно до заданной точности.

Таблица 1.

l	i	j		l	i	j		l	i	j		l	i	j
1	0	0	2	25	5	8	-9	49	6	16	-8	73	6	40	-1
2	1	1	3	26	5	9	7	50	6	17	8	74	6	41	2
3	1	2	-2	27	5	10	-5	51	6	18	-6	75	6	43	2
4	2	1	5	28	5	11	5	52	6	19	5	76	6	44	-1
5	2	2	-3	29	5	12	-4	53	6	20	-6	77	6	45	1
6	2	3	2	30	5	13	3	54	6	21	4	78	6	46	-1
7	3	1	2	31	5	14	-3	55	6	22	-5	79	6	47	1
8	3	3	3	32	5	15	2	56	6	23	5	80	6	49	2
9	3	4	-4	33	5	16	-3	57	6	24	-3	81	6	52	-1
10	3	5	2	34	5	17	1	58	6	25	4	82	6	53	1
11	3	6	-1	35	5	18	-2	59	6	26	-3	83	6	56	-1
12	3	7	1	36	5	19	3	60	6	27	3	84	6	57	2
13	4	3	4	37	5	21	1	61	6	28	-2	85	6	58	1
14	4	4	-4	38	5	22	-1	62	6	29	3	86	6	59	1
15	4	5	6	39	5	23	1	63	6	30	-2	87	6	61	1
16	4	6	-4	40	5	24	-1	64	6	31	3	88	6	63	1
17	4	7	3	41	5	25	1	65	6	32	-1
18	4	8	-2	42	5	27	2	66	6	33	3
19	4	9	2	43	5	28	1	67	6	34	-1
20	4	10	-2	44	5	29	1	68	6	35	2
21	4	11	2	45	5	31	1	69	6	36	-2
22	4	13	2	46	6	13	10	70	6	37	1
23	4	15	1	47	6	14	-8	71	6	38	-2
24	5	7	10	48	6	15	10	72	6	39	2

Погрешность приближения удовлетворяет заданной точности приближения в метрике пространства

В вопросах сжатия образов [1, 2] возник интерес к системам типа

где - произвольная суммируемая функция, определенная на R.

Системы из сжатий и сдвигов одной функции рассмотрены, в частности, в работах [1-7]. Но разложение с целыми коэффициентами по системам (1.1) другими авторами нигде не рассматривалось. А целочисленное разложение в пространствах рассмотрено впервые.

Таким образом, в заявляемом изобретении осуществляется просто приближение (создание эталонного вектора целевых характеристик изображения) на основе вектора изображения к тому же с целочисленными компонентами, и при этом начальные компоненты приближенного вектора остаются и добавляются последующие, если исходное приближение нас не устраивает. Используются новые системы функций [3-7] и по-другому вычисляются коэффициенты кодируемого сигнала. Этот способ является оптимальным приближением исходя из установленного заранее количества компонент вектора. К тому же, у нас, при промежуточных вычислениях, допускается возможная неточность вычислений, которая корректируется в последующих вычислениях. Заметим, что и у нас и в [1, 2, 7] используются системы функций, полученные из сжатий и сдвигов одной функции. Что составляет основу современных технологий в этой области. Системы функций, рассмотренные нами, не являются ортонормированными.

Системы из сжатий и сдвигов одной функции рассмотрены, в частности, в работах [1-7]. Но разложение с целыми коэффициентами по системам (1.1) нигде не рассматривалось, кроме работ автора [9-12].

На фиг. 1 дан эскиз графика функции а на фиг. 2 дан эскиз графика функции

Пример 2

Для подтверждения практической реализации рассмотрим пример сжатия выходного сигнала гармонического удвоителя частоты в виде показательно растущей функции. Рассмотрим функцию Очевидно, что это несуммируемая функция и эта функция не принадлежит ни одному из пространств Мы рассмотрим эту функцию в пространстве [13]. Это метрическое полное, сепарабельное пространство с квазинормой Пусть и

Пусть Применяя алгоритм примера 1, получим сумму

На фиг. 3 изображен эскиз графика функции При этом

Литература

[1] Jia R.Q., and Micchelli C. Using the refinement equation for the construction of pre-wavelets 2: Powers of two, in “Curves and Surfaces (P.J. Laurent, A. LeMehaute, and L.L.Schumaker, Eds.). Academic Press. New York. 1991. P. 209-246.

[2] Daubechies I. Ten lectures on wavelets. SIAM. Philadelphia. 1992.

[3] Filippov V.I. On the completeness and other properties of some function system in // Journal of Approximation Theory. 1998. V. 94. P. 42-53.

[4] Филиппов В.И. Системы представления, полученные из сжатий и сдвигов одной функции в многомерных пространствах // Изв. РАН, сер. Матем. 2012. Т. 76. N 6. С.193-206.

[5] Филиппов В.И. Об обобщениях системы Хаара и других систем функций в пространствах // Известия Вузов. Математика, 2018, 62:1, 87-92.

[6] Fillipov V.I., and Oswald P. Representation in by series of translates and dilates of one function// Journal of Approximation Theory. 1995. V.82. №1. P. 15-29.

[7] Kudryavtsev A. Yu. On the rate of convergence of orthorecursive expansionsovernon-orthogonal wavelets//Izvestiya: Mathematics, 2012, 76(4), 688-701.

[8] Филиппов В.И. Многомодулярные пространства и их свойства// Известия Вузов. Математика. 2017. 61:12. С. 57-65.

[ 9] Филиппов В.И. Способ сжатия одномерных образов путем приближения элементов пространств Lp по системам сжатий и сдвигов одной функции рядами типа Фурье с целыми коэффициентами// (патент рф № 2 681 367, опубликовано: 06.03.2019 бюл. №7). http://www1.fips.ru/wps/PA_FipsPub/res/Doc/IZPM/RUNWC1/000/000/002/681/367/%D0%98%D0%97-02681367-00001/document.pdf

[10] Филиппов В.И. Ряды типа Фурье с целыми коэффициентами по системам из сжатий и сдвигов одной функции в пространствах Lp, p≥1// Изв. вузов. Матем., 2019, № 6, С. 58–64.

[11] Филиппов В.И. Целочисленное разложение по системам из сжатий и сдвигов одной функции// Изв. РАН. Сер. матем., 84:4 (2020), C. 187–197.

[12] Filippov V.I. Series with Integer Coefficients by Systems of Contractions and Shifts of One Function// Lobachevskii Journal of Mathematics, 2020, Vol. 41, No. 11, pp. 2143–2148.

[13] Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Изд. «Наука». Москва. 1972.

Способ целочисленного разложения произвольных измеримых почти всюду конечных функций и сжатие образов в пространствах L_p(0,1], 0<р<1, и S(0,1] по системам из сжатий и сдвигов одной функции рядами типа Фурье, включающий запись цифрового сигнала ƒ в виде функции с выхода исследуемого объекта поступает как элемент пространства L_p(S[0,1]) на вход персонального компьютера; затем в электронно-вычислительный блок записывают последовательность значений этой функции; после чего в электронно-вычислительном блоке осуществляют приближение элементов пространств L_p(S[0,1]) по системам из сжатий и сдвигов одной функции рядами типа Фурье с целыми коэффициентами, при допущениях по оси ох - время, а по оси оу - значение сигнала в данный момент времени, точность приближения ε>0; затем вводят функцию ψ как образующую функцию для системы кодирования в виде таблицы или формулы, при этом ψ∈L₂[0,1], ψ(t)=0, tΔТ, Т=[0,1], таким образом обеспечивают большой выбор систем, по которым осуществляют обработку исходного сигнала ƒ; при условиях ƒ∈L_p[0,l], 0<р<1, (ƒ(t)∈S[0,1], и N - достаточно большое целое, положительное, фиксированное число, представляют функцию ƒ в виде , где , k=0, 1, 2, …, при этом и определяют следующим образом:

при этом k=0, 1, 2, …; затем вычисляют - элементы системы, по которой будет кодироваться сигнал, где i≥0, k=0, 1, …, 2ⁱ-1; затем формируют цикл для вычисления коэффициентов типа Фурье которые вычисляют исходя из g_k+1,r, как коэффициенты Фурье от g_k+1,r с умножением на , где - характеристическая функция интервала и умножением на 2k, а затем берут целую часть полученного числа, если это число больше или равно нулю, и целую часть плюс один, если это число меньше нуля; при условии, что

где индекс r зависит от индекса k, для k=0 индекс r=0, далее для каждого последующего k+1, k=1, 2, …, индекс r остается без изменений, если при этом при и фиксированном r, проверяют точность приближения при этом коэффициенты целые числа и многие равны 0; далее если точность приближения достигнута, то вычисления прекращают, в противном случае формируют новый цикл с g_k,r, выводят для запоминания коэффициенты где Z - целые числа, то есть кодируют сигнал; затем восстанавливают сигнал декодированием путем составления суммы где мы получили, a ψ_i,j(t) заранее известны, так как заранее установили, что кодирование и раскодирование происходит с участием системы [ψ_i,j(t)}, таким образом получают удовлетворяющее поставленным условиям приближение , ||ƒ-R_k||_p<ε.