Нейронная сеть ускоренного масштабирования модулярных чисел

Изобретение относится к вычислительной технике, в частности к модулярным нейрокомпьютерным средствам, и предназначено для выполнения операции масштабирования модулярных чисел. Техническим результатом является уменьшение объема оборудования, повышение быстродействия и расширение функциональных возможностей устройства. Устройство содержит входной слой нейронов, на которые подаются остатки масштабируемого числа А по модулям p_i, где i=1, 2, …, n, нейронные сети конечного кольца по модулям p_j, нейронные сети конечного кольца по модулям р_k, где модули p_j и р_k являются подмножествами набора модулей р_i, разделенных таким образом, чтобы P_j/P_k≈1, где P_j и Р_k - произведения модулей указанных подмножеств, нейронную сеть конечного кольца разности по модулю разности чисел ΔC(A)=P_j-P_k, табличные умножители. 1 ил.

 

Изобретение относится к вычислительной технике, и в частности к модулярным нейрокомпьютерным средствам, и предназначено для выполнения операции масштабирования модулярных чисел, т.е. чисел, представленных в системе остаточных классов (СОК).

Известно устройство для округления чисел в системе остаточных классов (АС СССР №398949, кл. G06F 7/52, 1973 г.), содержащее входной регистр, блоки хранения констант, сумматоры констант по основаниям рабочего и дополнительного диапазонов, блоки вычисления неточных рангов и блок коррекции округления.

Недостатком данного устройства является большой объем оборудования, низкая скорость округления и ограниченная функциональная возможность.

Наиболее близким к данному изобретению техническим решением является нейронная сеть для округления и масштабирования чисел, представленных в системе остаточных классов, содержащая входной слой нейронов, нейронную сеть конечного кольца определения ранга числа, нейронную сеть конечного кольца вычисления остатка по основанию n-l, нейронную сеть конечного кольца вычисления разности чисел между входными остатками и остатками по основанию n+1, n-нейронных сетей конечного кольца вычисления масштабированного числа.

Недостатком устройства является большой объем оборудования, ограниченная функциональная возможность, которая заключается в том, что масштабирование модулярных чисел реализуется только для случая, если коэффициент масштабирования модулярных чисел равен одному из модулей системы остаточных классов. Однако на практике требуется чтобы коэффициент масштабирования был равен произведению модулей.

В данном изобретении предлагается использовать коэффициент масштаба, равный произведению нескольких множителей.

Целью изобретения является уменьшение объема оборудования, повышение скорости масштабирования чисел и расширение функциональных возможностей.

Поставленная цель достигается тем, что нейронная сеть ускоренного масштабирования модулярных чисел содержит входной слой 2 с нейронами 3, нейронные сети конечного кольца (НСКК) по модулям СОК 4 и НСКК 5 по модулю разности чисел ΔС(A)=р_i-p_j. Структура НСКК зависит от внешних параметров, которые определяются модулями СОК. Функционирование нейронной сети ускоренного масштабирования модулярных чисел определяется структурой НСКК по модулям СОК, весовыми коэффициентами и выходным значением НСКК по модулю разности чисел. НСКК обучается путем установки весовых коэффициентов, которые являются константами и определяется выбранными модулями СОК, поэтому режим классического обучения сети не используется.

Известен ряд алгоритмов для масштабирования чисел СОК. Ранние попытки масштабирования разбиваются на две категории: масштабирование одним модулем, подразумевающее, что число СОК подвергается делению на один из модулей или масштабирование на произведение модулей, при этом процесс масштабирования происходит итерационно. Тем не менее, эти методы являются медленными и требуют обработки чисел с большей длиной слова вне СОК.

Метод ускоренного приблизительного масштабирования чисел на произведение модулей СОК с модулями р_i и динамическим диапазоном основан на применении в качестве масштабного коэффициента подмножества .

Если задан ряд положительных целых чисел р₁, р₂, …, р_n, называемых в дальнейшем основанием системы, то под системой счисления в остаточных классах будем понимать такую систему, в которой целое положительное число представляется в виде набора остатков (вычетов) по выбранным основаниям

причем образование цифр осуществляется следующим процессом

то есть цифра i-го разряда α_i числа А есть наименьший неотрицательный остаток от деления А на р_i.

Объем диапазона представимых чисел определяется

Для обратного перевода используется метод, основанный на применении ортогональных базисов, при этом число А представляются в виде

где B_i ортогональные базисы СОК и могут быть представлены в виде

где k_i целое положительное число, которое называется весом ортогонального базиса.

Причем k_i должно выбираться таким образом, чтобы имело место следующее сравнение

Для вычисления k_i необходимо найти .

Так как Р_i составлено из Р_i множителей взаимно простых чисел с р_i, то Р_i не будет нацело делиться на р_i, в результате деления получим некоторый остаток, который обозначим через δ_i. Тогда в соответствии с (6) k_i определяется как решение сравнения

Ввиду сравнительной малости величин оснований для набора модулей р_i составлены таблицы решений сравнений (7), в которых по величине δ_i находится соответствующее k_i.

Рассмотрим метод масштабирования чисел СОК, основанный на центральной функции. Метод состоит из выведения центра внутри СОК, при этом все вычисления сокращаются до результатов внутри модулей СОК.

Масштабирование числа СОК на основе китайской теоремы об остатках

Введено понятие центральной функции, которая определяется для целого А как

где А_i обозначает А по модулю р_i, а m_i обозначает i-ый вес (значение).

Полагая А_n=Р в (8), получим

Разделив левую и правую части на Р, получим

Для получения небольших значений С(P) необходимо, чтобы некоторые значения m_i были отрицательными. Подставляя (10) в (8), получим

Значения m_i можно определить выражением (10), если взять обе стороны по модулю р_j

где для всех p_i за исключением p_j. Из (12) определим

При выбранных значениях С(Р) некоторые m_j могут быть отрицательными, что обеспечивает С(Р)<<Р. Заметим, что если С(Р) является составной р_j, то соответствующее значение m_j=0. Область центральной функции G(P) определяется как

Теперь Китайская теорема об остатках для преобразования чисел СОК обратно в позиционные (то есть десятичные или двоичные) может быть выражена как

где R(n) известна как функция ранга, а B_i, обозначает i-ый базис СОК, тогда

Подстановка (15) в (11) дает

Упрощение и реконструкция (17) дает

Устанавливая A=В_i в (11), получаем

Откуда

которое известно как Китайская теорема об остатках центральной функции. Тем не менее, вследствие невыполнимости вычисления R(n) независимо, предпочтительная форма теоремы об остатках центральной функции выглядит как

Пример. Рассмотрим СОК с набором модулей p_i={2,3,5,7,11,13}, тогда Р=30,030, а Р_i={1,2,1,6,6,3}. Далее выберем С(Р)=3·5·11=165. Затем из (13) вычислим значения m_i:

Для минимизации центральной функции необходимо выбрать значения m_i с небольшими размерами. В этом примере выберем набор значений m_i={-1,0,0,3,0,1}, а его правомерность можно проверить выражением (9)

С(Р)=-1×15015+3×4290+1×2310=165.

Альтернативная установка значений m_i={1,0,0,-4,0,1} также возможна, правомерность которой определяется как

С(Р)=1×15015+-4×4290+1×2310=165

Метод приблизительного масштабирования модулярных чисел

Метод приблизительного масштабирования определяется в пределах представления СОК, не выходя в другие формы представления (позиционные или обобщенные позиционные системы счисления).

Из равенства (11) видно, что С(A) можно вычислить внутри СОК, что и определяет приблизительную масштабную версию А

Это достигается разделением набора модулей на два подмножества наборов, которые определяют Р_j и Р_k так, что P_jP_k=P и Pj|Pk≈1. Затем можно выполнить масштабирование с помощью Р_j или Р_k (другими словами, извлечение С(А) из С(Р)=Р_j или С(Р)=Р_k).

Сначала установим . Затем из (22) находим

для набора модулей р_j, который создал Р_j. Но Р_j это составляющая С_j(Р), так что

Тем не менее, для набора модулей р_k, который образует Р_k, не делит P_J, поэтому подобное упрощение невозможно

Таким образом, равенство (23) можно вычислить внутри набора модулей р_j, но (24) нет. Подобно, если

который можно вычислить внутри набора модулей р_k. Отсюда можно вычислить внутри набора модулей р_J, но не набора модулей p_k, к тому же можно вычислить внутри модуля набора модулей р_k, но не подстановки р_j. Тем не менее, если использовать разницу между центрами ΔС(A)=С_j(А)-С_K(A), то можно вычислить С_K(А) набора модулей р_k, расширяя внутри

C_J(А) наборы модулей р_k. Другими словами, добавляя ΔС(A) (или вычитая) к значениям одного набора модулей масштабных остатков, доступно С_J(А) или С_K(А} по всем остаткам, а масштабное значение А можно получить внутри СОК. Простое выражение для ΔС(A) можно получить из(20) как

которое можно упростить для практического использования

где

, а .

Из-за сложности определения значения R(A) из остатков лучше использовать выражение (28) в виде

Это выражение очень удобное для оценки ΔС(A), так как оно имеет малый модуль ΔС(Р).

Численный пример и нейросетевая реализация ускоренного масштабирования модулярных чисел

Провести масштабирование числа А=1859107, представленного в системе остаточных классов (СОК) по модулям р₁=7, р₂=11, p₃=13, p₄=17, p₅=19, p₆=23 А=(5,8,3,4,14,17) на число Р_j=p₁·p₄·p₆=7·17·23=2737 или Р_k=р₂·р₃·р₅=11·13·19=2717, которые представляют подмножество модуля .

При этом общий диапазон представления числа в СОК определится как P=p₁·p₂·p₃·p₄·p₅·p₆=7·11·13·17·19·23=7436429, а разность между выбранными подмножествами ΔP(Р)=Р_j-Р_k=2737-2717=20.

Для нахождения ортогональных базисов B_i (i=1,2,…,n) определим

и ,

тогда значение P_i ^*=(1062347, 676039, 572033, 437437, 391391, 323323), Р_i ^*-1=(6,1,2,12,2,2), а B_i=(6374282, 676039, 1144066, 5259244, 782782, 646646).

Используя вычислительную модель (13), определим весовые коэффициенты m_i для С_j(Р)=Р_j и С_k(Р)=Р_k.

Для , отсюда m_i=(0,-2,1,0,2,0), и для С_k(Р)=2717, m_i=(-1,0,0,-2,-6).

Теперь выразим С_j, С_k и ΔР(B_i) через ортогональные базисы СОК, тогда на основе получим

C_j(B_i)=(2346, 249, 421, 1932, 288, 238),

С_k(B_i)=(2329, 247, 418, 1918, 286, 236), ΔP(B_i)=(17, 2, 3, 14, 2, 2).

Выполним масштабирование числа А=(5, 8, 3, 4, 14, 17) с помощью и на основе китайской теоремы об остатках, результат которой необходимо взять по модулю р_i (i=1,2,…,n), поэтому предварительно представим Р_j и Р_k по модулям выбранной СОК:

С_j1(B_i)mod7=(1,4,1,0,1,0);

C_j2(B_i)mod17=(0,11,13,11,16,0);

C_j3(B_i)mod23=(0,19,7,0,12,8);

C_k(B_i)mod11=(8,5,0,4,0,5);

C_k(B_i)mod13=(2,0,2,7,0,2);

C_k(B_i)mod19=(11,0,0,18,1,8),

тогда:

C_j(A)mod7=(5·1+8·4+3·1+4·0+14·1+17·0)mod7=5

C_j(A)mod17=(5·0+8·11+3·13+4·11+14·16+17·0)mod17=4

C_j(A)mod23=(5·0+8·19+3·7+4·0+14·12+17·8)mod23=l7

C_k(A)mod11=(5·8+8·5+3·0+4·4+14·0+17·5)mod11=5

C_k(A)mod13=(5·2+8·0+3·2+4·7+14·0+17·2)mod13=0

C_k(A)mod19=(5·11+8·0+3·0+4·18+14·1+17·8)mod19=11

Параллельно вычислим :

ΔP(A)mod20=(5·17+8·2+3·3+4·14+14·2+17·2)mod20=8.

Наконец, проведем сложение ΔР(A) с С_k(А), тогда

C_j(A)mod11=C_k(A)+ΔP(A)mod11=5+8=13=2mod11

C_j(A)mod13=C_k(A)+ΔP(A)mod13=0+8=8mod13

C_j(A)mod19=C_k(A)+ΔP(A)mod19=11+8mod19=0.

Итак, значение модулярного числа А=1859107 (или (5,2,8,4,0,17) в СОК формате) после приблизительного масштабирования на число 2717 равно С_j(A)=(5,2,8,4,0,17). Проверим путем обратного преобразования в десятичное, используя китайскую теорему об остатках

Действительно, при приблизительном масштабировании числа А=1859107 на число 2717 получим число .

На чертеже представлена нейронная сеть для ускоренного масштабирования модулярных чисел для шести модулей, используемых в числовом примере. Принцип работы данного изобретения изложен ниже.

Нейронная сеть для ускоренного масштабирования модулярных чисел представляет собой набор n-НСКК 4 по модулям p_i, где i=1,2,…,n, и НСКК 5 по модулю разности чисел ΔС(A)=Р_j-P_k.

Информация в виде остатков масштабируемого числа А=(α₁,α₂,α₃,α₄,α₅,α₆) 1 поступает на входы НСКК 4 по модулям р_i и НСКК 5 по модулю ΔС(A). Выходы НСКК 4 по модулям р_i представляют результат масштабирования чисел А^m 6, выходы 7. Разряды (остатки) чисел в реальной схеме представлены в двоичном коде. Для упрощения схемы остатки будем рассматривать в десятичном коде. Весовые коэффициенты ΔС(B_i) 9, С_j(В_i) 10, C_k(B_i) 11 (синаптические веса) НСКК 4, 5 определяются константами выбранной системы остаточных классов и поступают на первые входы умножителей 12, которые представляют собой просмотровые таблицы, выполненные в виде табличных ROM (постоянные запоминающие устройства). Там, где весовые коэффициенты равны 0, входные шины для НСКК 4 не показаны.

Нейронный слой 2 нейроны 3 обеспечивают прием разрядов масштабируемого числа А 1, которые затем поступают на первые (информационные) входы умножителей 12, а на вторые (синаптические) входы умножителей 12 поступают значения весовых коэффициентов 9, 10, 11.

Информационные входы являются адресными входами табличных умножителей, содержимое которых предварительно вычислено и сохранено в просмотровых таблицах соответственно A_iC_i(B_i), A_iC_k(B_i) и А_iΔC(B_i). Организация просмотровых таблиц определяется двоичным представлением значений модулей p_i и ΔС(Р) соответственно l и l' и выражается формулами l=[log p_i] и l′=[log ΔC(P)]. Выходные значения умножителей суммируются в HCKKmod7-HCKKmod23 и НСКК ΔР(В_i), где реализуются вычислительные модели (24-26).

Организация и функционирование НСКК приведены в патенте №2279132, опубликованные 10.07.2005, Бюл.19. Финальным шагом является суммирование выходного значения НСКК ΔC(P), в нашем примере НСКК mod20, выход 7, с содержимым НСКК mod11, НСКК mod13 и HCKK mod19. На выходах HCKKmod7-HCKKmod23 формируются значения разрядов масштабированного числа , 6.

Время суммирования определяется 0[logn]+1 циклами синхронизации. Заметим, что два соответствующих коэффициента в HCKK mod7 - HCKK mod23 С(B_i)=0, поэтому используется n-2 входов HCKK mod7 - HCKK mod23.

Время масштабирования модулярного числа на произведение модулей в предложенной схеме определяется временем масштабирования на один модуль в известных схемах. Время масштабирования чисел на произведение модулей в известных схемах определяется итерационным методом и линейно зависит от числа модулей, на произведение которых осуществляется масштабирование.

Выше было сказано, что масштабирование модулярных чисел на произведение модулей может быть выполнено в рамках представления чисел в СОК без использования итераций. Этим обеспечивается высокая скорость масштабирования модулярных чисел. Масштабированное число 6 появляется на выходах НСКК mod7 - HCKK mod23, выходы 7.Операция масштабирования на коэффициент масштабирования, равного произведению модулей, выполняется за 3 цикла синхронизации.

В известном изобретении масштабирование осуществляется только на один из модулей, и если их использовать для масштабирования на коэффициент масштаба, равный произведению модулей, то процесс будет итерационным и время масштабирования определяется числом модулей СОК, входящих в масштабный коэффициент. Количество итераций линейно зависит от числа модулей, входящих в масштабный коэффициент, что и отличает это изобретение от известного. Изобретение предназначено для ускоренного масштабирования модулярных чисел в модулярных нейрокомпьютерах.

Нейронная сеть ускоренного масштабирования модулярных чисел, содержащая входной слой нейронов, на которые подаются остатки масштабируемого числа А по модулям p_i, где i=1, 2, …, n, нейронные сети конечного кольца по модулям p_j, нейронные сети конечного кольца по модулям р_k, где модули p_j и р_k являются подмножествами набора модулей P_i, разделенных таким образом, чтобы P_j/P_k≈1, где P_j и Р_k - произведения модулей указанных подмножеств, нейронную сеть конечного кольца разности по модулю разности чисел ΔC(A)=P_j-P_k, табличные умножители, при этом, выходы нейронов входного слоя соединены с первыми входами табличных умножителей, на вторые входы которых поступают значения весовых коэффициентов C_j(B_i), C_k(B_i) и ΔC(B_i), на выходах табличных умножителей формируются выражения A_iC_j(B_i), A_iC_k(B_i) и A_iΔC(B_i), которые поступают на первые входы нейронных сетей конечного кольца по модулям p_j, p_k и ΔС(А) соответственно, реализующих вычислительные модели
, и ,
вторые входы нейронных сетей по модулям р_k соединены с выходом нейронной сети конечного кольца разности по модулю ΔС(А), и реализующие вычислительную модель масштабированное число формируется на выходах нейронных сетей конечного кольца по модулям p_i.