Учебное пособие для графического построения производной функции по заданному ее графику

 

№ 55319

Класс 42 а, 20;

42п, 11„;

42m, 36

ОПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ

К АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ

Зарегистрировано в Бюро последующей регистрации изобретений Госп.гана лри СНК СССР

И. И. Утешен.

Учебное пособие для графического построения и функции по заданному ее графику.

Заявлено 25 июня 1937 года в НКОМаш за ¹ 8767.

Опубликовано 31 июля 1939 года, Аналитический метод преподавания математики имеет вполне отвлеченный характер и поэтому иногда трудно усваивается учащимися. В противоположность этому графический метод, вследствие большей наглядности, значительно облегчает понимание сущности основных положений высшей математики. При этом процесс построения производной может помочь усвоению сущности аналитического метода нахождения производной данной функции.

Эти особенности характеризуют предлагаемое учебное пособие.

С помощью предлагаемого учебного пособия можно в промышленности определять скорость протекания любого процесса по опытному графику.

Сущность изобретения поясняется чертежом, на котором фиг. 1 изображает предлагаемое учебное пособие, фиг. 2 иллюстрирует построение производной с помощью предлагаемого учебного пособия и фиг. 3 в проведение касательной к кривой с небольшим радиусом кривизны.

Сектор А снабжен дуговым прорезом т, служащим для пропуска обоймы й. Последняя служит для перемещения радиуса r, выполненного в виде нити, натянутой между центром сектора и обоймой 1г. Ввырезе О находится нить 1, которую можно перемещать по прорезам и и и, и устанавливать на одном нз делений масштаба, нанесенного на прорезах и и n,. .Прямая рд проходит через центр сектора и направлена по оси ОХ. Нить l направлена по оси О Y. Деление, через которое проходит нить l, дает длину отрезка от начала координат до нити 1, т. е. длину отрезка Лх.

Величина этого отрезка показывает, в каком масштабе будет произведено построение производной.

Производная в какой-либо точке кривой определяется как тангенс угла между касательной, проведенной к кривой в этой точке, и положительным направлением оси ОХ и

5р равна отношению †. Из соотно ах . щения 4y=f (х) Ьх следует, что в прямоугольных треугольниках, по строенных на упомянутых касательных с катетами, разными Лх, вторые катеты Ьу дают величину производной, увеличенную в Ьх раз.

На фиг. 2 графически изображена функция у =-0,1х -. Построение производной (например, для точки 8) состоит из следуюших приемов. Устанавливают прежде всего нить l на делении i (Ьх = 1), затем наклады- ) вают прибор на чертеж так, чтобы ., нить 1 совпала с ординатой 8. Пере- мещая прибор и нить l вдоль этой ординаты, следят за тем, чтобы радиус r совпал с касательной к кривой в точке 8à. Отрезок нити l от прямой pq до точки пересечения радиуса r с нитью l равен искомой производной у = — Ьу. Переместив прибор по ординате 8 до совпадения прямой pq с осью ОХ, отмечают эту производную точкой 8.

Подобным же образом строятся производные и для других точек графика (на фиг. 2 точки 2, 10, 72).

При другом масштабе чертежа нить l соответственно перемещают по прорезам и и и,, Если угол между касательной и положительным направлением оси

ОХ тупой и тангенс угла отрицательный, то пользуются обратной стороной прибора. Найденные значения производных — Ьу отклады-, вают по ординатам не вверх, а вниз от оси ОХ (см., например, построение производной для точки 5).

При построении касательной нет, надобности устанавливать нить в точке касания. Достаточно установить нить r параллельно участку данной кривой, если участок кривой имеет небольшую кривизну и весьма, близок к прямой. В случае большой кривизны участка можно применить, следующий способ построения ка- сательной. От данной точки D кривой (фиг. 3) откладывают вправо и влево равные отрезки DD, и DD, затем соединяют полученные точки прямой

D,D и устанавливают нить r no этой прямой D>D> или параллельно ей.

С этим прибором можно решить обратную задачу. Чтобы построить интегральную кривую по данной производной, например

0,2х . Ch=0,1х +С, поступают следующим образом.

Пусть дано графическое изображение производнойу = 0,2 х (фиг. 2).

Таким образом для каждой точки оси ОХ известны направления касательных к искомой кривой.

Прямые, параллельные этим касательным, проводятся в соответствующей последовательности из начала координат О до встречи с первой ординатой, оттуда до пересечения со второй и т. д.

Если взять вместо точки О apvгую точку, расположенную по оси ординат выше или ниже точки О, то получится кривая, все точки которой снижены или повышены по сравнению с первой интегральной кривой. Это семейство кривых наглядно иллюстрирует неопределенность задачи

Э

0,2 х dh = 0,1 х - + С.

Предмет изобретения.

Учебное пособие для графического построения производной функции по заданному ее графику, отличающееся тем, что оно выполнено в виде квадранта со сквозным вырезом, снабженного поворотным вокруг центра радиусом в виде нити, служащим касательной к данной кривой, и параллельной одной из сторон квадранта передвижной нитью, точка пересечения которых определяет элементы для графического построения производной в любой точке графика заданной функции.

К, авторскому свидетельству Н. И. Утешева

М 5531 }

) б/ б

Тип. арт. «Сов. Печ.». Зак. № ЕΠΠ— 559

Х бг. 1!