Оптическое устройство для решения интегродифференциальных уравнений в частных производных

 

Изобретение относится к специализированной вычислительной технике и может быть использовано при разработке оптических вычислительных машин. Сущность изобретения состоит в реализации решения двумерного интегрального уравнения, к которому приводится интегро-дифференциальное уравнение в частных производных, с помощью метода последовательных приближений на основе совместного использования последовательного соединения вычислительных транспарантов с двумерным неопределенным оптическим интегратором и кольцевого оптического разветвителя. 1 ил.

Изобретение относится к специализированной вычислительной технике и может быть использовано при разработке оптических вычислительных машин.

Известны устройства для решения дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) на основе использования Фурье-преобразования при определении пространственных частных производных, позволяющих получать решения в заданном масштабе времени [1].

Недостатками таких устройств являются низкая точность из-за погрешностей дифференцирования, низкое быстродействие из-за невозможности формирования решения одновременно как по оси пространственной, так и временной координаты (процесс решения вынужденно формируется во времени), а также отсутствие возможности решения интегро-дифференциальных уравнений и ДУЧП с коэффициентами, зависящими от обеих координат (пространственной и временной).

Наиболее близким по техническому исполнению к заявленному устройству является оптическое вычислительное устройство [2], содержащее источник плоского светового потока, оптический вычислительный транспарант, оптические разветвители, группу оптических усилителей, оптические интеграторы.

Недостатками данного устройства являются низкое быстродействие из-за невозможности одновременного формирования решения сразу по двум координатам, а также отсутствие возможности решения интегро-ДУЧП.

Изобретение направлено на решение задачи повышения быстродействия устройства при решении ДУЧП, а также на обеспечение возможности решения интегро-ДУЧП с коэффициентами, зависящими сразу от двух координат. Подобные задачи возникают при решении различных проблем математической физики, теории управления, стохастической фильтрации и т.д., требующих применения быстродействующих вычислительных машин.

В данном случае решение поставленной задачи осуществляется следующим образом.

Рассмотрим линейное интегро-дифференциальное уравнение N-го порядка в смешанных частных производных: a_jk(x,t) + A(u,s)ρ(u,s)duds+B(x,t)=0 (1) где А, В, a_jk - коэффициенты уравнения, представляющие собой известные аналитические функции;ρ (Х,t) - решение уравнения, существующее ∀x∈[0,X]; t∈[0,T]; начальные и граничные условия решения и всех его смешанных производных заданы.

Для приведения его к виду, удобному для реализации в предложенном устройстве, проинтегрируют N-кратно по t и х левую часть уравнения, учитывая, что 1) a_jk(x,t)dx = =(-1) + +(-1)^j dx 2) c(x,t)dt=(-1) +(-1)^k· (x, t)dx где С(x,t) - некоторая известная функция, 3) c(x,t)ρ(x,t)dx = (x-s)^N-1× ×C(t,s)·ρ(t,s)ds = C^m_N-1·x^N-1-m· (-s)^m× ×C(s,t)·ρ(s,t)ds где С(x,t) - некоторая функция.

Это позволяет привести уравнение (1) к интегральной форме
C₀(t,x)·ρ(t,x)+C₁(t,x)+ C₂(s;t)·ρ(s,t)ds+
+ C₃(x, τ)·ρ(x, τ)dτ+ C₄(u,s,x,t)·ρ(u,s)duds=0 где C_i - известные аналитические функции, определяемые набором начальных условий, коэффициентов уравнения (1), их производных и т.д., причем исходя из последнего приведенного равенства (для N-кратного интегрирования) для дальнейшей возможности синтеза наиболее компактной схемы устройства функцию С₄(u, s, x, t) представляют более детально в следующем виде:
x^mtⁿK_mn(u,s)
Полученное уравнение с учетом очевидного равенства
Φ(u,w)du= Φ(u,s)δ(w-s)duds может быть приведено к форме двумерного инте- грального уравнения Вольтерра второго рода:
ρ(t,x)= K_mn(u,s)ρ(u,s)duds+N(x,t) где К_mn, N - известные функции,x∈[0,x], t∈[0,t].

Решение данного уравнения определяется рекуррентным рядом
ρ(t,x) = N(x,t) + AN + A²N...+ AⁿN +..., где А - оператор, определяемый как
AN= K_mn(u,s)N(u,s)duds.

Сущность изобретения состоит в том, что выход источника плоского светового потока через оптический транспарант подключен к входу первого ответвления первого оптического разветвителя устройства, входы остальных ответвлений которого, объединенных по выходу, оптически связаны с выходами соответствующих транспарантов второй группы, причем выход первого оптического разветвителя через матричный оптический усилитель подключен к входу второго оптического разветвителя, выходы М ответвлений которого через оптические транспаранты первой группы оптически связаны с входами оптических интеграторов, выходы которых подключены к входам транспарантов второй группы, а выход первого ответвления второго разветвителя является выходом устройства.

На чертеже приведена функциональная схема данного устройства.

Устройство содержит источник 1 плоского некогерентного светового потока, постоянного в течение всего времени работы устройства, двумерный вычислительный оптический транспарант 2, первую группу из M = N²оптических двумерных вычислительных транспарантов 3_оо,...3_(N-1(N-1), группу из М двумерных оптических интеграторов 4₁,...,4_М, вторую группу из М двумерных оптических вычислительных транспарантов 5_оо,...,5_(N-1)(N-1), матричный оптический усилитель 6, группу из M+1 ответвлений 7_о,...,7_М, объединенных в оптический разветвитель 7, оптический разветвитель 8, содержащий ответвления 8_о,...,8_м, выход ответвления 8_о является выходом устройства.

Функции пропускания транспарантов устройства пропорциональны следующим двумерным функциям: для транспаранта 2 - N(x,t), для транспаранта 3_mn - К_mn(x,t), для транспаранта 5_mn - X^m˙ tⁿ˙ C_o^-1(x,t); m,n=.

Двумерный оптический интегратор 4_i предназначен для выполнения операции неопределенного интегрирования входной двумерной функции. Матричный оптический усилитель 6 представляет собой матрицу из L x L усилителей, где L x L - общее число оптических неуправляемых направленных ответвителей, подключенных к входу усилителя 6. Оптические разветвители 7, 8 выполняются в виде группы L x L плотноупакованных неуправляемых направленных ответвителей (например, оптических волокон), где значение L определяется максимальным числом интервалов дискретизации функций, записываемых на транспаранты 2, 3_mn, 5_mn, которое, в свою очередь, выбирается, исходя из требуемой точности решения уравнения (1).

Выход источника 1 излучения подключен к входу транспаранта 2, выход которого подключен к входу ответвления 7_o, объединенного по выходу с ответвлениями 7₁, ...,7_М в разветвитель 7. Выход разветвителя 7 подключен к входу матричного усилителя 6, выход которого подключен к входу разветвителя 8, имеющего ответвления 8_о,...,8_м. Выход ответвления 8_iподключен к входу ответвления 7_i (i=) через последовательно соединенные транспарант 3_mn, интегратор 4_i и транспарант 5_mn, выход ответвления 8_о является выходом устройства.

Работа устройства организована следующим образом.

Плоский световой поток от источника 1, пройдя через транспарант 2, формирует на входе ответвления 7_о двумерный оптический сигнал с распределением интенсивности, пропорциональным N (x,t), который далее через разветвитель 7 и матричный усилитель 6 поступает на вход разветвителя 8.

Так как в разветвителе 8 происходит разветвление светового потока сначала на два (в ответвлении 8_о), а затем на М (в ответвлениях 8₁,...,8_М) потоков, то с учетом также еще и неизбежного затухания потока вε раз коэффициент усиления усилителя 6 выбирается равным 2Мε . Через разветвитель 8 световой поток поступает на выход устройства и на входы транспарантов 3_оо,. ..,3_(N-1)(N-1), формируя на выходе транспаранта 3 световой поток с интенсивностью N(x,t) K_mn(x,t).

В интеграторе 4_i осуществляется двумерное неопределенное интегрирование данной функции, после чего световой поток с распределением интенсивности, пропорциональным N(u,s)K_mn(u,s)duds, поступает на транспарант 5_mn, где происходит ее умножение на функцию .

Результирующие световые потоки с выходов транспарантов 5_mnпоступают на входы соответствующих ответвлений 7_i, где в разветвителе 7 происходит их суммирование, т.е. реализация оператора
AN= x^mtⁿ·C^-₀¹(x,t) K_mn(u,s)·N(u,s)duds
C учетом потока на входе ответвления 7_о на выходе разветвителя 7 получают в первый момент времени световой поток с интенсивностью, пропорциональной AN + N. Многократное прохождение такого потока по кольцевому тракту выход разветвителя 7 - входы ответвления 7₁-7_Мприводит к формированию на выходе устройства светового потока с интенсивностью, пропорциональной функции ρ(x,t) = N + AN + A²N... + +AⁿN + ..., установившееся значение которой представляет собой искомое решение уравнения (1).

Формула изобретения

ОПТИЧЕСКОЕ УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, содержащее источник плоского светового потока, оптический вычислительный транспарант, первый и второй оптические разветвители, матричный оптический усилитель, оптические интеграторы, отличающееся тем, что в него введены первая и вторая группы оптических вычислительных транспарантов, выход источника плоского светового потока через оптический транспарант подключен к входу первого ответвления первого оптического разветвителя устройства, входы остальных ответвлений которого, объединенных по выходу, оптически связаны с выходами соответствующих оптических вычислительных транспарантов второй группы, причем выход первого оптического разветвления через матричный оптический усилитель подключен к входу второго оптического разветвителя, выходы ответвлений которого через оптические вычислительные транспаранты первой группы оптически связаны с входами оптических интеграторов, выходы которых подключены к входам оптических вычислительных транспарантов второй группы, а выход первого ответвления второго оптического разветвителя является выходом устройства.

РИСУНКИ

Рисунок 1