Устройство для моделирования линейных функций "п" переменных

 

1) М. Кл.

ЬО6 Ь агав.

Гнеудерстеенньв неннтет

Сеиатв Инннстрен СОР

an далем нзабретеннй н етнрытнй

53) УД1(6Й1.333 (owe.я) (72) Лвтор изобретбиия

О. H. Серов (71) 3аявитвлb Управление геологии Совета Министров Туркменск )й СГ.;Р (Ы} УСТРОйСТИО ДЛЯ МОДЕЛИРОВЛНИЯ ЛИНЕЙНЫХ

ФУНКЦИИ тт " ПЕРЕМЕННЫХ

Изобретение относится к вычислительным устройствам с ручным управлением. Оно предназначено для моделирований и решения задач линейного программирования типа транспортной и сводимых к ней. Устройство также может быть использовано в качестве простого и доступного средства при обучении методике решения задач линейного, программирования, Транспортные задачи линейного програм- )О мирования малой размерности практически решаются вручную. Расчетные методы решения таких задач трудоемки и связаны с большим количеством вычислений.

Известен прибор для построения много- д фокусных кривых — линейных функпий ."и переменных расстояний, в котором осуществляется моделирование линейной функпии.

Он с держит "< (по числу переменных) )О втулок с наружными кольпевыми канавками, установленных на стойках, и огибающие их нерастяжимые нити. Известный прибор непригоден для моделирования систем алгебраических уравнений и неравенств, но 2á наиболее близок к предлагаемому устройству по структуре.

Целью изобретения является решение з, дач линейного программирования транспорт ного типа, Зто достигается тем, чтс у(трой(ство содержит w параллельнь(х напрзвлян)I, ших элементов с равномерными шкалами

1, и неподви)кпь)м(ч стойками со втулками в ! ! их основаниях, а также перемещаемых по направляющим элементам стоек со втулка, ми с фиксаторакm их положения и передвижные ограничители переме цаемых стоек, Предлагаемое устройство мехаиизит)ует пропесс решения, исключая большук часть вычислении.

На фиг, 1 показано предлагаемое устройство, общий вид; па фиг. 2 - направляющий элемент с неподвижной и перемещаемой стойками.

Предлагаемое устройство представляет со: ,бой набор одинаковых направляющих элементов 1, размещении)х параллельно один другому на общей раме, Каждый направляоший элемент выпосптен в виде линейки с равномерной шкалой 2 и сквозной прорезам

".2.l.574

110 133.<. и своей раба 1ей Длине В осндва11и>сх

H. s çéI3H IIOIILHX BRIE. I Н- НтОВ l, Hti ОДНОМ p01:-. не укр» нщены неподвижные стойки 3, на

::1ждую из которых свободно, Но без излин;— цет о зазора, посажена втулка 4 с наружными кольцевыми ка11авками, расположе1ц1ая против прорс: и на11рявлшощего элемента, И каждой н;1 Iipopeat.й помещено по перемеи щаемой стойке 5, нс.су1цей свободно посаженную втулку 6 с наружными кольцевыми кя- 10 павками и ручной пружинныйфиксатор7перемещаемой стойки. Г1еремешение стоек 5 со втулками 6 ограничено передвижными с граннчителями 8, Между втулками 4 и 6

11ас311с:сены нити 8, уложенные в кольцевые !5 канавки втулок. Фиксация шагов нитей в ка1н113ках втулок 4 осу1цеетвляется общим

ыдиижным плоским пругом 10, я фиксация шагов нитсй в канавках втулок 6 — кромками с:пецияльных планок 11, укрепленных на корпусах фиксаторов 7. На кромках прорез .и направляющих элементов 1 помещены нружн1шыс передв11жхые, индикаторы 12.

Иит11,3 служат кажчяя для имитации оп1>е2н-: »нн и,Л1ней11о13 функш1и из числа функцпо11il.t I.ïûõ с граничений л1ател1ятической

Л1опо, И ЗацаЧН II IIОСтУпаЮт На УСтРОйетВО чс с .1 c»стчик длин шггей 13 с катушки l 4, которая л1ожет быть выполнена, напримс р, и;3 набор;i шпулек, фиксируемых одна отно30 с ителы1о другой It все вме(те — относительно корпуса катушки.

Каждол1у из перел1енных Х (g -1, 2..., 11. ) с113аа 1и соответствует свой направля1с—

1 Зб щнй элемент 1 сп втулками 4 п 6. Ограничи тс.ли 8 усtoíot3ëåii.;I н,i положении шкал 2, соответствующем задан11ым 11ределам изм не= ння переменных Х

Каждое из заданных условиями функциональных ограничений . задачи ими гировано отдельной нитью, которая должля быть практически нерастяжимой. Общая длина участвующих в имитации функционального,ограничения участков нити соответствует сумме значепий входящих в него переменных и изменяется в процессе решения задачи.

Каждая и;3 нитей подается с катушки 14 через счетчик 13 ня втулку 4 соответству1ощей неподвижхой стойки 3, огибает ее щ по четверти длины кольцевой канавки, поступает на втулку 6 перемещаемой стойки 5, огибает ее по половине длины кольцевой ка.- навки и возврашастся на ту же втулку 4, огибает с противоположной стороны четверть 56 длины кольцевой ее канавки и идет далее

I на следующую, пару втулок 4 и 6 другого элемента 1, соответствую1цегп другому переменному, входящему в это же функциональное оl рапичение,Задачи. 60

Такил1 образом, обведены нитью все пары втулок 4 и 6, относяшиося к одному и тому же функциона IbHoMó ограничению.

ala последней нз втулок 4 нить, после огибания по;лепной из втулок 6, фиксируется. В общем случае, каждому из значений перемещгых Х со Зтветству1от пва участка нити Г1 между втулками 4 и 6 одного и того же направляющего э11ементя 1. Общая вытравленная с катушки 14 длина кити больше участвую1цей в имитации переменных ее длины на постоянную величину, равную сумме участков огибания нитью втулок 4 и 6 и участков перехода нити между втулками

4 разных хаправля1ощих элементов, Эта, определя<-.мая заранее величина, вычтена из показаний счетчика 13. г1я других кольцевых канавках вту1ок 4 и 6 аналогично имитированы другие функциональные, ограничения математической модели задачи линейного программирования.

Функциональные ограничения, представляюTl шие собой рявс нетts;-I вида Я Х = Х Х

I t j 1 .„+ Х =11 ° 1=1,1, .11, где Ь- — постоянная величина, Х ) с1 имитHpUIÇBHbl в устройстве, как

Ф описано IIIIIIII., нигями, длины которых равны "Э " (плюс — сумма постоянных по

1 длине ее участков, не участвующих в имитации; также и везде в последующем изложении) в общем для всех функциональных ограничений задачи масштабе. Концы нитей фиксированы, а rq»s решении задачи они должны находиться в натяжении за счет перемещения втулок 6 на определенных направляющих элементах.

ФУ1гкциональхые ограничения, представляющие собой неравенства типа меньше или

s\ равно» 1" Х =Х +Х +" ° +Х «Ъ.

1»1

2 11 1 также имитированы нигями, длины которых равны "11 ", их концы также фиксированы, но в процессе решения они могут оставаться пенатяаутыми.

Функциональные ограничения, представляющие собой неравенства типа "больше и или равно" Е Х„=Х 1.Х + ... Х ) г1 °

j11 2 и LP где Ц.1 — постоянная величина, имитированы нитями, длины которых взяты равными величинами О ", одним своим концом зафиксированы на какой-либо из втулок 4, я другим - поданы на катушку 14 и могут потравлнваться с нее в процессе решения.

Функциональные ограничения — двухсторо1 ние неравс.нства тппа ЬЪЕ, Х "-Х +Х ...+Х

1 1 2 11 1 где Ь1, 11 — постоянные величины, имитированы на устройстве нитями длин " Ь ", я в проне се операций могут потравл и t:— ся с катушки 14 незчфикс31рованн1,1л1и свп521574.

20 (нити имеют общий направляющий элемент 1), то натяжение начинают с соответствующей ей втулки 6, опуская при необходимости одновременно на ту же величину уже поднятые втулки 6, на которых натянута первая нить (или предыдушие нити), но имеющие наибольшие значения коэффициентов С.".

Ранее натянутая нить(или, нити) при этом не ослабляется. До полного натяжения второй (или очередной) нити последовательно 10

9 переходят к втулкам 6 с возрастающими коэффициентами "С-", начиная с наименьших °

Ц в данном равенстве, приводя их в верхние предельные положения, при необходимости опуская ранее уже поднятые втулки 6 с большими, чем у поднимаемых втулок, значениями С, приводя их в нижние предель( ные положения. Ранее натянутые нити при этом не ослабляются.

Точно также поступают при натяжении всех последующих нитей, но при этом из числа опускаемых втулок 6 исключают те, обе нити на которых (принадлежашие разным системам) уже находятся в натяжении.

Положение .втулок 6 на направляющих элементах, соответствующее натяжению всех нитей "О,. и "Ъ, моделирует на устрой«1 сгве допустимый план решения задачи.

Если по условиям задачи, вместо систе30 мы функциональных ограничений (3), на устройстве имитирована система равенств типа "меньше или равно"

X;) 4а„., (= 4929... m -1 (модель открытой транспортной задачи линейного грограммирования), то производят выше описанное натяжение нитей подъемом втулок 6, начиная с нитей лишь системы (2)

" b. ", а к нитям "Q обрашаются тогда, 3 1 когда они начинают препятствовать полному натяжению нитей "3., При этом осушест-, 1 вляют описанные выше парные встречные перемещения втулок 6 на направляющих элементах, добиваясь натяжения всех нитей Ь .

Особенности реализации на устройстве сис- тем ограничений вида Д С

j«i 1еЗ, 1 заключается, и следующем. Поскольку нити

Х и "I " поступают на устройство сло1 1 женными вместе, они получают одинаковые ® приращения длины. Подъемы втулок 6 в верх ние предельные положения начинают с направляющих элементов 1, 0THocIINHxcII к мно9кеству I (в порядке нарастания козффи2. циентов С ). Если при натянутой нити при последуюшем подъеме втулок 6, относящихся к 1 длины нити оказывает1 ся недостаточно, нить ? фиксируют, а нить

I потравливают до ее натяжения втулка1 ми.

Если на устройстве реализуется система равенства вида g I!;.- p

М1, 1а, где а — постоянная величина, то автономные потравливания или выбирания каждой из двух нитей недопустимы., Получение искомого решения задачи в виде набора значений переменных-оптимизация допустимого плана - заключается в установлении на устройстве их значений, обеспечивающих в сумме максимум или минимум целевой функции при сохранении функциональных ограничений и ограничэний переменных..

Процесс решения поясняется IIa примере изложенной выше замкнутой транспортной задачи линейного программирования.

На устройстве реализованы системы ограничений (2) и (3) нити натянуты; требуется определить минимум линейной формы (1)

МИ Тф

< =. Е <- .. -мин.

1131 jj jj

Из числа направляющих элементов с поднятыми втулками выбирают два таких, чтобы у них не имелось общей нити и сумма соответствующих им коэффициентов С ли11 нейной формы была при этом наибольшей.

Пусть это будут, например, направляюшие элементы Х1 и Х,, а нити с этих эле1,Т Б,4 ментов мо|ут быть натянуты на направляющих элементах Х и Х,1, втулки которых не находятся в верхних йредельных положениях, а сумма соответствующих им коэффициентов С - меньше суммы первых двух, т, е, После выбора таких направляющих weментов, втулку направляюц1его элемента

Х опускают. При этом натянутые на

394

I них нити й" и "Ь" ослабляются. Затем опускают втулку направляющего элемента

Х„9,создавая слабину натянутых на нем ни1 тей " В и " Ъ ", а втулку элемента Х

392

1одновременно поднимают, выбирая слабину нитей "а (с элемента f Ж ) и 6 (с элемента Х ). В преде,пьных положениях фиксируют втулки Х > и Х (если они их

39L достигли) . Оставшиеся ослабленными нити а " и "Ъ " натягивают подъемом втулки

4 элемента Х 49которую фиксируют. Поскольк" нити а ", " 5 ", a>", " b,1 ослаблялисЬ и натягивались на одинаковые длины, соответствующие функциональные ограничения остались удовлетворяющими условиям задачи, а значение линейной формы (1) уменьшилось. /

Далее аналогично выбирают следующую пару поднятых втулок и пару втулок им co QTBcTcTB5 Ошую (включая и те направляющие

821874

10 элементы, нити с которых не были полностью стянты в предыдущем цикле).

Оиисанный выше процесс церетягиваниа нитей с одних пар элементов на другие, 6mree выгодные, повторшот до исчерпаний ю б подобной возможности. При равенстве сумм пар коэффициентов Сц выбираемых элементов и осуществлении описанного цикла перетягиваний, выигрыша в уменьшении значения линейной формы не будет, но оказывается

10 возможным исключить из решения одну из переменных. В ходе циклических перетягиваний нитей на направляющих элементах увели о опущенных в нижние полож В сия втулок элементов, соответствующих переменным с большими значениями коэффициентов С . В итоге на устройстве оогаетса предельное число (в + =1) направ лающих элементов с натянутыми на. их вт щ-»щ ках нитями, соответствующих базисным не известным» Без нарушения сжтемы ограничений уменьшить значение линейной формы(1) уже нельзя, искомое решение найдено По maaлам 2 считают значения переменных Х.- и, щ

1i подставляя их в выражение (1), вычисляют искомый минимум.

Производимые на устройстве циклы перетягиваний нитей явшпотся механической моделью используемых в решении транспортной задачи симплекс-методом циклов пересчета в матрицах, однако при работе на устройстве исключена необходимость в проведении вычислений составлении промежуточных таблиц и записи промежуточных таблиц и промежуточных результатов

Формула изобретения

Устройство для моде щрования линейных функций переменных, содержащее 3т втулок с наружными кольцевыми канавками, установленных на стойках, и огибающие их нерастяжимые нити, о т л и ч а ю щ е ес я тем, что, с целью повьппения точности моделирования, оно содержит 1 параллельных направляющих элементов с равномерными шкалами, на основаниях которых размещены неподвижные стойки и передвижные ограничители, à m втулок на стойках выполнены перемещаемыми, каждая вдоль соответствующего напраиляющего элемента и снабжены фиксаторами их стоек.

Составитель Е. Тимохина

РедактоР Л. ТюРина ТекРед Г. Редан КоРРектоР Д. М н, енко

Заказ 4849/532 Тираж 814 Яоднисное

ЦНИИПИ Государственного комитета Совета Министров СССР по делам изобретений и открытий

113035, Москва, Ж-35, Раушскан наб., д. 4/5

Филиал ППП Патент, г. Ужгород, ул. Проектная, 4