Способ определения реологических свойств снежного покрова

Изобретение относится к области испытаний при инженерных изысканиях в транспортно-технологическом машиностроении. Сущность: вертикально нагружают снежный покров путем приложения нагрузки через штамп. Измеряют развитие вертикальной деформации слоя снежного покрова во времени и определяют мгновенный модуль деформации слоя и параметры опытных кривых ползучести как минимум при любых трех значениях времени деформации t₁, t₂ и t₃, ограниченных временем проведения измерений. Штамп предварительно вывешивают на рычаге над поверхностью снежного покрова, касаясь его без передачи давления на слой. Равномерно возрастающую нагрузку на штамп, начиная от нулевого значения, передают путем равномерного перемещения поперек траектории смещения штампа нагружающего груза по рычагу, а развитие деформации, мгновенный модуль деформации и параметры кривой ползучести определяют из совместных выражений. Технический результат: повышение эффективности испытаний и точности измерений развивающейся под нагрузкой деформации снежного покрова. 1 табл., 5 ил.

 

Изобретение относится к области испытаний при инженерных изысканиях в транспортно-технологическом машиностроении, в частности к способам определения реологических свойств снежного покрова, преимущественно в интервале температур -5…0°С, в полевых условиях.

Известен способ (методика) оценки степени уплотнения крупнообломочного грунта и устройство для его осуществления [1]. В процессе динамического нагружения слоя грунта через круглый штамп грузом, разделенным на элементы и сбрасываемым с определенной высоты по направляющим штангам, создается динамическая нагрузка на слой грунта с переменной длительностью импульса загружения, регулируемой посредством элементов, соединяющих между собой разделенные элементы сбрасываемого на штамп груза. При этом замеряется остаточная деформация осадки штампа диаметром D_шт, которая не должна превышать определенной величины. В противном случае уплотнение слоя грунта считается недостаточным.

Достоинством данного способа является обеспечение динамической нагрузки с регулируемой длительностью импульса загружения слоя грунта через штамп, что при достигнутых и соответствующих реальным нагрузках на слой грунта повышает мобильность установки, проявляющейся в снижении материалоемкости, а также устраняет необходимость применения в качестве упора (как это необходимо при нагружении статической нагрузкой) рамы различных автомобилей или дорожных машин.

Недостатками данного способа являются следующие. Во-первых, разделение груза на элементы приводит к тому, что при сбрасывании его по направляющим штангам на жесткий круглый штамп в слое грунта развиваются значительные по величине и кратковременные по длительности ударные динамические нагрузки, что приводит к разрушению структуры грунта. Кроме того, ударный импульс, вследствие особенностей взаимодействия элементов сбрасываемого груза на штамп, имеет сложную форму, не соответствующую реальному характеру воздействия ходовых систем машин на слой грунта, и не может быть определен количественно вследствие различного физико-механического состояния грунта, что вносит погрешность в оценку степени уплотнения грунта. Во-вторых, регистрация только остаточной деформации осадки штампа не позволяет определить модули упругости и деформации слоя грунта, как основных характеристик при уплотнении, а также определить параметры реологических характеристик, например, параметры кривых ползучести.

Известен также способ испытания дорожной одежды и устройство для его осуществления [2, 3]. Слой нагружается динамической нагрузкой посредством установки динамического нагружения, в которой груз падает с определенной высоты по направляющей штанге на упругое амортизационное устройство (пружину), передающее кратковременную динамическую нагрузку на слой через круглый штамп, соединенный с направляющей штангой соосно. Для измерения деформации одежды применяют вибрографы, записывающие вертикальную деформацию на бумажную ленту, или датчики перемещения с фиксацией вертикальной (продольной) деформации с помощью осциллографа. При этом наибольшее динамическое усилие и модуль упругости (мгновенный модуль деформации) определяют по формулам

;

;

,

где σ₁₁ - контактное давление под штампом, развиваемое вследствие действия динамической нагрузки, Па;

F_шт - площадь штампа, м²;

М - масса падающего груза, кг;

g - ускорение свободного падения (9,81 м/с²);

Н - высота падения груза, см;

δ - показатель, характеризующий жесткость амортизатора и равный его деформации от статического действия груза массой М, м;

К_П - коэффициент, учитывающий потери энергии (только в деформируемом слое) при сбрасывании груза;

l, l′ - вертикальные деформации дорожной одежды от первого и второго удара (после подскока) при одном и том же сбрасывании, см;

D - диаметр штампа, см;

ε - относительная деформация слоя;

µ - коэффициент Пуассона, для дорожных одежд принимаемый равным 0,3.

Достоинствами данного способа являются следующие. Во-первых, нагружение слоя осуществляют динамической нагрузкой, что при достигнутых и соответствующих реальным нагрузках на слой грунта повышает мобильность установки, проявляющейся в снижении материалоемкости, а также устраняет необходимость применения в качестве упора (как это необходимо при нагружении статической нагрузкой) рамы различных автомобилей или дорожных машин. Во-вторых, применение цельного груза, неразделенного на элементы, позволяет передавать через пружину на штамп нагрузку, характер изменения которой соответствует реальному характеру воздействия ходовых систем машин (в частности, колесных) на деформируемое основание, близкому к параболической форме.

Недостатками данного способа являются следующие. Во-первых, коэффициент К_п определяется не совсем корректно, т.к. при отскоке груза вверх после первого цикла нагружения (удара) в слое испытуемого материала происходят структурные изменения вследствие развивающихся в слое остаточных внутренних напряжений. Это значит, что модуль деформации и действующая на штамп нагрузка (ее величина и характер изменения) зависят не только от параметров состояния слоя (температуры, плотности, влажности), но и от сложившейся структуры. Поэтому второй и последующие циклы нагружения будут протекать по измененным законам нагружения вследствие изменившейся структуры за счет быстрого (в пределах сотых долей секунды) изменения напряженного состояния слоя. Кроме того, при падении груза по направляющей штанге возникают определенные силы трения, а также при сжатии пружины происходит потеря энергии, идущая на нагрев витков пружины вследствие кратковременного динамического воздействия через пружину и штамп на слой, которые не учитываются в расчетах. В силу отмеченных обстоятельств определение наибольшего динамического усилия является некорректным. Во-вторых, как показали исследования [4], для различных материалов или при деформировании одного и того же материала различными видами нагружения развитие деформации слоя протекает по различным законам. Отсюда можно сделать вывод, что необходимо знать параметры кривых ползучести (деформации), в соответствии с которыми можно достаточно точно определить деформацию слоя грунта в любой момент времени расчетным путем, а также модуль деформации слоя, что может существенно расширить информативность получаемых из опытных данных результатов. Представленный и все представленные выше способы не позволяют определить параметры кривых ползучести, а значит и определить достаточно точно модуль упругости (модуль мгновенной деформации) и модуль деформации в любой момент времени действия нагрузки.

Известен также способ динамического испытания несущей способности грунта, при котором динамическая нагрузка на поверхность грунтового слоя создается прогибомером с падающим грузом (через амортизирующее устройство), и измеряется образовавшийся прогиб, на основе которого и вычисляется модуль упругости материала [5, 6, 7]. Указанный способ и устройство для его осуществления аналогичны предыдущему [2, 3], отличие состоит лишь в испытаниях различных материалов (грунтов или дорожной одежды).

Наиболее близким к заявляемому способу является способ определения физико-механических характеристик слоя почвогрунта [8].

Сущность изобретения выражается в том, что в способе определения физико-механических характеристик слоя почвогрунта, включающем нагружение слоя динамической нагрузкой посредством падения груза с определенной высоты на упругое амортизационное устройство, передающее кратковременную динамическую нагрузку через штамп, измерение продольной деформации слоя и определение модуля продольной деформации слоя, в процессе нагружения слоя почвогрунта динамической нагрузкой, изменяющейся по закону, близкому к трапецеидальному, дополнительно измеряют поперечную деформацию слоя почвогрунта под штампом, определяют параметры опытных кривых продольной (α₁, A₁ и β₁) и поперечной (α₂, A₂ и β₂) ползучести как минимум при трех значениях времени деформации t₁, t₂ и t₃ и мгновенный модуль продольной деформации из выражений

;

;

,

где ε₁₁ и ε₂₂ - продольная и поперечная относительная деформация слоя;

ε′₁₁ - продольная относительная деформация слоя при ступенчатом законе нагружения (законе Хевисайда);

Е - мгновенный модуль продольной деформации (при t=0), кПа;

σ₁₁ - максимальное давление под штампом, кПа;

K₁₁(t-τ) и K₂₁(t-τ) - функции скорости продольной и поперечной ползучести, с^-1;

Г(α₁) и Г(α₂) - соответствующие им гамма-функции Эйлера;

t₁, t₂ и t₃ - моменты времени, при которых происходит скачок скорости нагружения штампа при трапецеидальном законе нагружения, с;

τ - текущее значение времени, с,

при этом максимальное давление под штампом определяют из опыта посредством указателя максимальной деформации амортизирующего устройства по выражению

,

где Н_сж - величина максимальной деформации амортизирующего устройства, мм;

К_пр - коэффициент упругости амортизирующего устройства, кН/мм;

F_шт - площадь штампа, м²,

а также определяют функции скоростей сдвиговой K_c(t) и объемной K_v(t) ползучести по выражениям

;

где ν₀ - коэффициент Пуассона.

Общими недостатками всех рассмотренных способов являются следующие. Во-первых, перед проведением нагружения слоя через штамп последний предварительно устанавливается на поверхности слоя грунта и уже под собственным весом осуществляет давление на исследуемый слой, что при определении реологических свойств снежного покрова недопустимо, поскольку плотность и несущая способность снежного покрова намного ниже, чем у грунтов, и даже под действием незначительных давлений снежный покров начинает деформироваться. Во-вторых, величина и интенсивность передаваемых нагрузок существенно выше необходимых для нагружения снежного покрова, что, в частности, формируется за счет конструктивных особенностей применяемых устройств, когда грузы, передающие нагрузки на штамп, перемещаются вдоль оси штампа.

Большинство ученых, занимающихся изучением физико-механических свойств снега, отмечают, что для него присущи такие явления, как ползучесть и релаксация, а сам снег относится к разряду упруго-вязко-пластичных материалов [9, 10, 11, 12]. При этом те или иные свойства одного и того же снега могут проявляться по-разному. Так, снег отличается упругими свойствами при приложении небольших нагрузок в течение достаточно короткого времени. При таких условиях деформации невелики и обратимы при устранении приложенных напряжений, структура снега не нарушается. Для пластического течения требуется, чтобы было достигнуто некоторое пороговое значение напряжения, после которого оно начинается. Однако это напряжение достаточно мало, оно зависит от скорости приложения нагрузки и не может быть с достаточной степенью точности измерено [11]. Поэтому рекомендуется определять вязкопластические свойства в совокупности.

Совместное действие различных механизмов деформирования снега и разрушения связей между зернами приводит к большому разнообразию скоростей и величин деформации снега и его прочностных характеристик в зависимости от структуры, плотности и температуры снега, условий деформирования, величин и времени действия нагрузок. Тем не менее исследованы некоторые общие закономерности изменения напряженно-деформированного состояния. Так, в работе [10] отмечается, что с определенной степенью точности для описания процессов ползучести и релаксации можно использовать такие модели, как модели Кельвина-Фойгта или Бюргерса. Однако при этом отмечается, что входящие в них элементы не имеют четкого физического смысла и могут существенно изменяться в зависимости от условий нагружения снега. Поэтому широкий диапазон изменения параметров, характеризующих процессы деформирования снега и изменчивость его свойств, затрудняют построение единой реологической модели.

Именно поэтому для описания напряженно-деформированного состояния снежного покрова удобно использовать теорию наследственной ползучести, которая не разделяет между собой упругие, вязкие и пластичные свойства, а интегрально учитывает их плавное изменение во времени.

Многие исследователи отмечают, что практически трудно замерить для снега мгновенно-упругую деформацию, и модуль упругости получается заниженным. Поэтому применение способа статического нагружения, когда нагрузка на штамп прикладывается по закону Хевисайда (когда постоянная нагрузка мгновенно прикладывается и выдерживается в течение времени проведения опыта), для снега не подходит. Ступенчатое приложение нагрузки, когда через определенное время нагрузка меняется на небольшую величину, при которой не происходит продавливания снега, также затрудняет процесс определения реологических свойств снега, так как время выдерживания постоянной нагрузки значительно влияет на формирование структурных связей, их кристаллизацию.

Исследование реологических свойств снежного покрова при возрастании нагрузки на штампе с постоянной скоростью является самым простым в математическом смысле описания процесса, а также достоверным с точки зрения физических процессов, происходящих в снеге. Однако, как показывают исследования, для снежного покрова с различными параметрами состояния присущи различные предельные скорости нагружения, при которых имеется возможность исследования реологических свойств.

Задачей изобретения является повышение эффективности испытаний и точности измерений развивающейся под нагрузкой деформации снежного покрова.

На фиг.1 представлены типовые диаграммы развития деформации снежного покрова при его деформировании штампом.

На фиг.2 представлена схема реализации предлагаемого способа.

На фиг.3 представлены общий вид устройства для проверки реализации предложенного способа.

На фиг.4 представлена осадка штампа в конце процесса деформации снежного покрова

На фиг.5 представлено взятие проб снега по глубине слоя.

На фиг.1 представлены две типовые диаграммы развития деформации снежного покрова при его деформировании штампом с разными скоростями изменения нагрузки. При небольшой скорости изменения нагрузки на штампе (кривая 1) деформация слоя снега развивается скачкообразно, что объясняется следующим. При небольших или медленно меняющихся нагрузках происходит интенсивное образование структурных связей между кристаллами снега. Эта интенсивность снижается со временем и при равномерном увеличении напряжений в слое снега нарастающая прочность снега в какой-то момент времени становится меньше действующих напряжений. Происходит разрушение структуры снежного покрова, и на диаграмме деформаций происходит плавный скачок с определенной скоростью деформации.

Эта скорость зависит от плотности снега, величины нагрузки и определяется особенностями относительного смещения частиц снега. С самого начала скачка деформации начинают вновь образовываться одни и разрушаться другие связи, причем их интенсивность различная. В этом и проявляются реологические свойства различных деформируемых материалов. При большой скорости нагружения (кривая 2, фиг.1) такой картины по изменению соотношения структурной прочности и прикладываемой нагрузки не наблюдается, и проявляются реологические свойства на этапе постоянного разрушения структуры.

Именно такая картина изменения напряженно-деформированного состояния и наблюдается при взаимодействии движителей МЭС со снежным покровом. Поэтому необходимо определять предельные значения скоростей нагружения снежного покрова, при которых не происходит скачков в развитии деформаций снега и при которых (и выше их значений) можно определить реологические свойства снежного покрова. Эти значения определяются плотностью, температурой и влажностью снега, толщиной слоя и историей его сложения.

Сущность изобретения состоит в том, что штамп предварительно вывешивают на рычаге над поверхностью снежного покрова, касаясь его без передачи давления на слой, равномерно возрастающую нагрузку на штамп, начиная от нулевого значения, передают путем равномерного перемещения поперек траектории смещения штампа нагружающего груза по рычагу, а развитие деформации, мгновенный модуль деформации и параметры кривой ползучести определяют из совместных выражений

;

,

где Е - мгновенный модуль деформации, Па; ε - относительная деформации слоя; σ - напряжение под штампом в конце времени процесса нагружения снежного покрова через штамп, Па; K(t-τ) - функция скорости ползучести, с^-1; Г(α), Г(αn) - соответствующая ей гамма-функции Эйлера; α, А и β - параметры опытной кривой ползучести; τ - текущее значение времени, с, при этом скорость нагружения снежного покрова выдерживают в пределах не менее

,

где ρ - плотность снега, г/см³; е - основание натурального логарифма.

На фиг.2 представлена схема реализации предлагаемого способа. Над поверхностью снежного покрова 1 предварительно вывешивают на рычаге 2 штамп 3, касаясь снежного покрова 1 без передачи давления на слой (Q₂=0). Это можно обеспечить, если начальное положение относительно опоры (точка О) рычага 2 нагружающего груза 4 с учетом его веса Q₁, равномерно распределенной нагрузки q рычага 2, веса P₁ самого штампа 3 и веса P₂ противовеса 5, обеспечивающего вывешивание штампа 3 над поверхностью снежного покрова 1, будет обеспечено координатой

которая определяется из уравнения моментов относительно опоры рычага 2 (точки О).

Далее включают измерительное устройство 6, фиксирующее вертикальное перемещение штампа 3 во времени, и перемещают нагружающий груз 4 по рычагу 2 с заданой скоростью V, в соответствии с которой скорость нагружения снежного покрова 1 со стороны штампа 3 составляет значение, как показали специально проведенные эксперименты с применением теории математического планирования эксперимента, не менее

,

где ρ - плотность снега, г/см³; е - основание натурального логарифма.

При такой скорости нагружения снежного покрова 1 через штамп 3 будет получена плавная кривая ползучести, соответствующая кривой 2 (фиг.1), дальнейшая обработка которой позволяет определить мгновенный модуль деформации и параметры кривой ползучести по представленным совместным выражениям.

Для проверки возможности реализации заявляемого способа было сконструировано устройство, представленное на фиг.3, с помощью которого фиксировалась во времени осадка штампа 3 (фиг.4). Для определения предельно-минимальной необходимой скорости нагружения снежного покрова берутся пробы снега с определением его плотности (фиг.5).

Эксперименты проводились на снежном покрове, история формирования которого представлена в таблице.

Таблица
История формирования снежного покрова при исследовании его реологических свойств
Дата	Температура воздуха днем, °С	Температура воздуха ночью, °С	Атмосферные осадки	Проведение эксперимента
04.01.04 г.	-2	-5	Первый слой снега 15…20 см	-
05.01.04 г.	-1	-5	-	-
06.01.04 г.	-1	-4	-	-
07.01.04 г.	-1	-4	-	-
08.01.04 г.	-2	-4	-	-
09.01.04 г.	-3	-6	-	-
10.01.04 г.	-3	-7	-	-
11.01.04 г.	-4	-6	-	-
12.01.04 г.	-2	-4	-	-
13.01.04 г.	-2	-5	-	-
14.01.04 г.	-4	-7	-	-
15.01.04 г.	-2	-7	Второй слой снега 15…20 см	-
16.01.04 г.	-3	-6	-	-
17.01.04 г.	-4	-6	-	-
18.01.04 г.	-2	-5	-	-
19.01.04 г.	-4	-5	-	-
20.01.04 г.	-7	-5	-	-
21.01.04 г.	-3	-7	-	-
22.01.04 г.	-3	-3	-	-
23.01.04 г.	-4	-9	Третий слой снега 3…5 см	-
24.01.04 г.	-3	-6	-	-
25.01.04 г.	-6	-6	-	-
26.01.04 г.	-1	-3	-	-
27.01.04 г.	-8	-9		-
28.01.04 г.	-6	-12	Четвертый слой снега 3…4 см	1-я серия
29.01.04 г.	-3	-5	Пятый слой снега 2…3 см Небольшой вечерний дождь (мелкий)	2-я серия
30.01.04 г.	0	+2	-	-
31.01.04 г.	-1	-3	-	3-я серия

Изменение нагрузки на штампе во времени осуществлялось посредством перемещения каретки с различными грузами вдоль наклоняемого рычага с помощью тяговой системы, состоящей из небольшого электродвигателя, блока питания, двух роликов, установленных по концам рычага, и веревочного каната.

Плотность снега ρ в верхней половине слоя составила: для первой серии экспериментов - 0,22 г/см³; для второй серии - 0,24 г/см³; для третьей серии - 0,26 г/см³. Скорость изменения нагрузки на штампе составляла в разных опытах 0,51, 1,217, 2,42, 3,45 и 4,313 кПа/с.

С использованием теории математического планирования эксперимента по некомпозиционному ротатабельному плану на шестиугольнике для двухфакторного эксперимента получено уравнение регрессии, отражающее величину вертикальной деформации, в милиметрах, снежного покрова общей толщиной 30 см

λ_В=49,6-8,58X₁+41,58Х₂-2,31X₁X₂-6,07X₁ ²-1,62X₂ ²,

где

; .

Из полученного выражения видно, что с увеличением плотности деформация снежного покрова уменьшается, а с увеличением скорости нагружения слоя - увеличивается по нелинейному закону, что говорит о значительной нелинейности реологических свойств снежного покрова. Анализ кривых ползучести слоя снежного покрова при различных значениях плотности снега и скорости нагружения показал, что параметры функции скорости ползучести являются переменными, зависящими от параметров состояния снежного покрова и условий его нагружения.

Для рассматриваемой серии экспериментов определена граница значений скоростей нагружения снежного покрова, которая ограничивает ступенчатое развитие деформации:

,

то есть с увеличением плотности снега предельная скорость нагружения снежного покрова, при которой отсутствуют скачки в развитии деформации, уменьшается.

Литература

1. Операционный контроль качества земляного полотна и дорожных одежд. / И.Е.Евгеньев, А.Я.Тулаев, В.С.Порожняков и др.: Под ред. А.Я.Тулаева. - М.: Транспорт, 1985. - 224 с.

2. Гельфер Г.А. Строительство и эксплуатация городских дорог. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Стройиздат, 1989. - 272 с.

3. Ремонт и содержание автомобильных дорог: Справочник инженера-дорожника. / А.П.Васильев, В.И.Баловнев, М.Б.Корсунский и др.; Под ред. А.П.Васильева. - М.: Транспорт, 1989. - 287 с.

4. Носов С.В., Носов В.В. К вопросу по оценке эффективности уплотнения асфальтобетонных смесей гладковальцовыми статическими и вибрационными катками // Оптимизация параметров строительных и дорожных машин." Ярославль, 1992. - С.46-55 /сб.тр. ЯПИ/.

5. Tholen О. Falling weight deflectometer. A device for bearing capacity measurement: Properties and performance. / Department of Highway Engineering, Royal Institute of Technology. - Stockholm, Sweden, 1980.

6. Koole R.C. Overlay design with the falling weight deflectometer. / Symposium Pavement Evaluation and Overlay Design, Transportation Research Board Meeting. - Washington D.C., U.S.A., January, 1979.

7. Форссблад Л. Вибрационное уплотнение грунтов и оснований / пер. с англ. И.В.Гагариной. - М.: Транспорт, 1987. - 188 с.

8. Патент РФ №2192006. Способ определения физико-механических характеристик слоя почвогрунта, преимущественно имеющего низкую и среднюю плотность, и устройство для его осуществления: Заявка №99126270 от 14.12.99; МПК 7 G01N 33/24. / С.В.Носов, М.В.Рощупкин, А.Л.Кононов, А.Г.Каплун; Липецкий государственный технический университет. - Б.И. №30 (II ч.) за 2002 г. (Зарегистрирован в Гос. Реестре изобретений РФ 27.10.02 г.).

9. Анфилофьев, Б.А. Исследование реологических свойств снежного покрова. / Б.А.Анфилофьев, В.К.Лохин // Труды Новосиб. ин-та инж. ж.-д. транспорта. - Новосибирск, 1972. - Вып.141.

10. Войтковский, К.Ф. Механические свойства снега. / К.Ф.Войтковский. - М.: Наука, 1977. - 126 с.

11. Снег: Справочник. / Под ред. Д.М.Грея, Д.Х.Мэйла. - Пер. с англ. под ред. В.М.Котлякова. - Л.: Гидрометеоиздат, 1986. - 752 с.

12. Эльмесов, A.M. К вопросу о вязкости снежного покрова. / А.М.Эльмесов // Изв. АН СССР. Сер. Геофиз. - М., 1962. - №4.

Способ определения реологических свойств снежного покрова, преимущественно в интервале температур -5…0°С, в полевых условиях, включающий вертикальное нагружение снежного покрова путем приложения нагрузки через штамп, измерение развития вертикальной деформации слоя снежного покрова во времени и определение мгновенного модуля деформации слоя и параметров опытных кривых ползучести как минимум при любых трех значениях времени деформации t₁, t₂ и t₃, ограниченных временем проведения измерений, отличающийся тем, что штамп предварительно вывешивают на рычаге над поверхностью снежного покрова, касаясь его без передачи давления на слой, равномерно возрастающую нагрузку на штамп, начиная от нулевого значения, передают путем равномерного перемещения поперек траектории смещения штампа нагружающего груза по рычагу, а развитие деформации, мгновенный модуль деформации и параметры кривой ползучести определяют из совместных выражений
;
;
,
где Е - мгновенный модуль деформации, Па;
ε - относительная деформации слоя;
σ - напряжение под штампом в конце времени процесса нагружения снежного покрова через штамп, Па;
K(t-τ) - функция скорости ползучести, с^-1;
Г(α), Г(αn) - соответствующая ей гамма-функции Эйлера;
α, А и β - параметры опытной кривой ползучести;
τ - текущее значение времени, с,
при этом скорость нагружения снежного покрова выдерживают в пределах не менее
,
где ρ - плотность снега, г/см³;
e - основание натурального логарифма.