Устройство для решения дифферен-циальных уравнений b частныхпроизводных

 

Союз Советских

Социалистических

Республик

ОПИСАНИЕ

ИЗОБРЕТЕНИЯ ""798864

К АВТОРСКОМУ СВИ ВТВЛЬСТВУ (61) Дополнительное к авт. свид-ву— (22) Заявлено 21. 08. 78 (21)2660931/18-24 с присоединением заявки ¹â€” (23) Приоритет—

Опубликовано 230131. Бюллетень N9 3

Дата опубликования описания 230181 рз)м. к.з

G 06 F 15/328

Государственный комитет

СССР по делам изобретений и открытий (53) ПЖ681. 14 (088. 8) (72) Автор изобретения

Б.Г.Фрадкин (71) Заявитель

Таганрогский радиотехнический институт им. В.Д.Калмыкова (54) УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Изобретение относится к цифровой вычислительной технике и может быть использовано при разработке и конструировании специализированных устройств, предназначенных для решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Известно устройство, содержащее два регистра, подключенные выходами к блоку умножения, соединенному выходом через сумматор, подключенный к выходу блока ввода, с входом одного нз регистров, соединенного выходом с входом другого регистра и с входом блока коммутации. Это устрой- 15 ство позволяет решать методом итерации конечноразностное уравнение, система которых аппроксимирует дифференциальное уравнение в частных произ воднь1х (1 ). 20

Недостатком устройства является ограниченная точность решения, определяемая первым порядком аппроксимации в разностной схеме первой производной по времени, входящей 25 в такие -распространенные уравнения, как уравнение теплопроводности, уравнение переноса.

Наиболее близким по технической сущности к предлагаемому является м 30

2 устройство для решения дифференциальных уравнений в частных производ ных, содержащее Два регистра и блок ввода, подключенные выходами к блоку умножения, соединенному выходом через сумматор с входом блока деления, подключенного другим входом с выходом блока возведения в квадрат, а выходом - c входом одного из регистров соединенного выходом с входом другого регистра и с входом блока возведения в квадрат j2 ).

Данное устройство содержит блоки, которые позволяют решить с помощью метода итерации, например уравнение теплопроводности по чисто, неявной разностной схеме,,и+1 ци+< цв+1 gll+1 gh

Ц1+1 1 j1 О, 9)

qa с где h и 5 — шаги по пространственной Х и временной координате; и и i — номера точек по про" странственной и времен ной координате.

798864 (И) ()И+1,К)

Utl+<> 1 1

1-1 1(4) 50

55 бО

Недостатком устройства является ограниченная точность решения, обусловленная первым порядком аппроксимации производной по времени д0 — правой разностной производйой

0 +" - U (2), т.е.погрешность аппроксимации составляет величину 0 (С) и зависит от первой степени шага по времени.

Цель изобретения — повышение точности решения.

Поставленная цель достигается тем, что в устройство, содержащее перный и второй регистры, сумматор, блок ввода, блок деления, блок возведения в квадрат, блок умножения, причем выход блока ввода соединен с первым входом блока умножения, выход которого соединен с первым входом сумматора, выход первого регистра соединен с вторым входом блока умножения через блок возведения н квадрат — с первым входом второго регистра и является . выходом устройства, управляющие входы первого и второго регистров являются управялющими входами устройства, введен блок вычитания, выход которого соединен с первым входом блока деления, второй вход и выход которого соединены соответственно с выходом первого регистра и вторым входом сумматора, выход которого соединен с информационным входом первого ре гистра, первый и второй входы блока вычитания соединены соответственно с выходами блока возведения в квадрат и второго регистра.

Введенные блоки и связи позволяют реализовать аппроксимацию второго дU (<ум 1z р порядка для — — выражением

Эс 2 ; U >+ (3), погрешность которого составляет величину 0 (С).

На чертеже представлена структурная схема устройства.

Устройство содержит блок 1 ввода, подключенный выходом к первому входу блока 2 умножения, соединенного вторым входом с выходом первого регистра 3, подключенным к входу блока 4 возведения в квадрат, соединенного выходом с третьим входом второго регистра 5 и с первым входом блока б вычитания, подключенного вторым входом к выходу второго регистра 5, а выходом — к первому входу блока 7 деления, соединенного вторым входом с выходом первого регистра 3, а выходом — c вторым входом сумматора 8, подключенного первым входом к выходу блока 2 умножения, а выходом — к третьему входу первого регистра 3, соединенного выходом с информацион ным ныходом 9 устройства, а первым и вторым входом — с первым и вторым входом второго регистра 5 и с входом

10 занесения начальных условий и

3S

40 управляющим входом 11 устройства со. ответственно, информационный вход

12 устройства подключен к входу блока 1 ввода.

Блок 1 ввода служит для ввода в устройство информации о решении в соседних узлах сетки (соседних устройствах). Блок 2 умножения служит для.образования произведений, входящих в формулу алгоритма работы устройства.

Первый регистр предназначен для хранения на к-той итерации работы устройства текущего решения U" """ """"..

Блок 4 возведения в квадрат служит для образования величин, входящих в числитель формулы (2), аппроксимирующей производную по нремени при решении устройством соответстнующего. уравнения.

Второй регистр 5 предназначен для хранения решения U, полученного и в устройстве на предыдущем п-ом временном слое. Блок б вычитания служит для образования числителя формулы (2). Блок деления 7 предназначен для вычисления приближенного значения производной по времени по формуле (2).

Сумматор 8 служит для образования на к-той итерации работы устройстванового решения.

Устройство реализует следующий алгоритм. В разностной схеме (1) аппроксимация производной по времени правой раэностной производной (2) заменяется выражением (3). Для решения полученной раэностной схемы испльзуется метод простой итерации.

При этом, в итерационной формуле приводятся подобные члены, в результате алгоритм работы устройства имеет вид (3 1+" +1 >+1,K l1w1,K

1+1 n+1 Щ где а„-,Ь„. — соответствующие коэффициентй, определяемые формулами (1) и (3) и формулой метода простой итерации, например Ь; — —, где Q — - параQ метр метода простой итерации.

Преимущества алгоритма (4) вытекают из сравнения погрешности аппроксимации производной выражениями

80 (2) и (3). При взятии частной производной по времени зависимости функции U от Х игнорируется, а зависимость U от t представляется в виде ряда Фурье 0=2U>6, где i — мнимая единица, q — волновое число,U амплитуда волны или моды Фурье. Анализ преобразования функции эаменяет798864 (4f более точную аппроксимацию про3U иэводной —, которая поступает на сумматор 8, с выхода которого значение U найденное на 1-ой итерации

1-го временного слоя, записывается

5 по третьему входу в первый регистр.

3. Аналогично происходит работа устройства на 2-й, 3-й и к-той итерации. По окончании итерационного процесса (4 ) по управляемому сигналу на входе 11 значение U„ возведенное в квадрат на блоке 4, записывается по третьему входу во второй регистр

5, и аналогично происходит работа устройства на 2-м, 3-м и т.д. временном слое.

Использование в устройстве блока вычитания, подключенного входами к выходам )второго регистра и блока воэ ведения н квадрат, а выходом к входу блока деления, соединенного с

20 сумматором, соединенным с первым регистром, выгодно отличает устройство от известного, так как позволяет на порядок повысить точность устройства при аппроксимации произво2 дной по времени. Это и определяет экономический эффект устройства. С -4).

И Е "()+ - 6 -) Используя выражение синуса через ряд по степеням аргумента, последнюю формулу преобразуем к виду

U e )) .

fig): - о е "

Е -) . = riniyz)

Отсюда и из (5) следует, что (3) ° ди

35 аппроксимирует — с вторым поряда кои точности.

Устройство работает следующим образом.

В регистры 3 и 5 по управляющему 40 сигналу на входе 11 с входа 10 записываются начальные условия U. è U

f,Î .1,0

1 1

Значение U> поступает с выхода первого регистра 3 на второй вход блока

2 умножения, на первый вход которого 4g через "лок 1 ввода поступают значения U„- и 0;„ с выходов 9 соседних устройств, йодключенных к информационному входу 12 данного устройства.

Указанные неличины умножаются в блоке умножения на коэффициенты а .

I а„. „,а„ „и суммируются затем на сумматоре 8 в соответствии с алгоритмом работы устройства (4). Значение

U поступает также на вход блока 4 вознедения в кнадрат, с выхода которого значение (U >) поступает на пер1 вый вход блока б и вычитается от значения (U ), поступающего на нторой вход блока б с выхода второго регистра 5. Полученная разность поступает на первый вход блока 7 деления и делится на значение U."0

1 Ф поступающее на его второй вход с выхода первого регистра 3, и на коэффициент Ь„, образуя согласно

Формула изобретения

Источники информации, 40 принятые во внимание при экспертизе

1. Авторское свидетельство СССР

9 373735, кл.G 06 Г 7/48, 1973.

2. Авторское свидетельство СССР по заявке Р 2523950/18-24, у кл.б Об F 15/32, 1978. ся анализом преобразования изолированной моды Фурье О) e"+ . Имеем — -(Ua)"" ) = ) цU (5)

Подставляем выражение моды Фурье в формулу (2), получаем

Используя выражение экспоненты через ряд по степеням показателя, последнюю формулу преобразуем к виду

Отсюда и из (5) следует, что (2) ао аппроксимирует — — с первым порядЭ с ком точности. Подставляем выражение моды Фурье в формулу (3) получаем ()) )) )) (фиi-с)) (() ь z (2ГО С" (" "

С

=щ))

Я 1 .6 Ио

Устройство для решения дифферен- . циальных уравнений в частных произ водных, содержащее первый и второй регистры, сумматор, блок ввода, блок деления, блок возведения в квадрат, блок умножения, причем выход блока ввода соединен с первым входом блока умножения, выход которого соединен с первым входом сумматора, выход первого регистра соединен с вторым входом блока умножения, через блок возведения н квадрат — с первым входом второго регистра и является выходом устройства, .Управляющие входы первого и второго регистров являются управляющими входами устройства, о т л и ч а ю щ е е с я тем, что, с целью повышения точности работы, оно содержит блок вычитания, выход которого соединен с первым входом блока деления, второй вход и выход которого соединен соответственно с выходом первого регистра и вторым входом сумматора, выход которого соединен с информационным входом первого регистра, первый и второй входы блока вычитания соединены соответственно с выходами блока возведения в квадрат и второго регистра.

798864

Составитель И.Хазова

Редактор Л.Кеви Техред Н. Ковалева Корректор N.Øàðoøè

Заказ 10057/68 Тираж 756 Подписное

ВНИИПИ Государственного комитета СССР по делам изобретений и открытий

113035, Москва, Ж-35, Раушская наб., д.4/5

Филиал ППП. "Патент", г.ужгород, ул.Проектная,4