Устройство для решения дифференциальныхуравнений

 

Союз Советских

Социалистических

Республик

ОПИСАНИЕ

ИЗОБРЕТЕНИЯ

К АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ

< >81981О (61) Дополнительное к авт. саид-ву (22) Заявлено 19. 06. 78(21) 2631468/18-24 с присоединением заявки ¹ (23) Приоритет 51)М. К,.

G 06 F 15/32

Государственный комитет

СССР по делам изобретений и, открытий (53) УДК 881.3 (088.8) Опубликовано 070481.Бюллетень ¹ 13

Дата опубликования описания 09.0481 (72) Автор изобретения

Б. Г. Фрадкин

Таганрогский радиотехнический институт им. (71 ) Заявитель (54 ) УСТРОЙСТВО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Изобретение относится к вычислительной технике и может быть использовано при разработке и конструировании специализированных устройств, предназначенных для решения дифференциальных уравнений как в частных производных, так и обыкновенных.

Известно устройство, содержащее два регистра, подключенные выходами к блоку умножения, соединенному выходом через сумматор, подключенный к выходу блока ввода, с входом одного иэ регистров, соединенного выходом с блоком коммутации (1); Это устройство позволяет решать в цифровой форме непосредственно конечно-разностную систему, аппроксимирующую дифференциальное уравнение в частных производных, с помощью метода итерации.:, Недостатком устройства является огра- ниченность функциональных возможнос тей, состоящая в неосуществимости решения дифференциальных уравнений с нелинейными (зависящими от решения) коэффициентами.

Наиболее близким к изобретению по технической сущности является устройство для решения дифференциальных уравнений в частных .производных, содержащее два регистра, подключенные выходами к блоку умножения, соединенного также с выходом блока ввода и подключенного выходом через сумматор к входу одного из регистров, соединенного выходом с входами блока коммутации и блока вычисления нелинейного коэффициента, подключенного выходом к блоку умножения (2).

Это устройство содержит блоки, которые позволяют решать кваэилинейные уравнения в частных производных .вида — — (Ч(u) — ) (i )

du a du

dt dx dx

15 с нелинейным коэффициентом т (О) путем решения на каждом п-ом временном слое разностного уравнения, соответствующего исходному дифференциаль. ному уравнению методом итерации. При20 чем на каждом к-м шаге метода итерации блок вычисления нелинейного коэффициента определяет т (О„) путем линейной интерполяции в точку Ок содержащихся в нем табличных данных о нелинейной зависимости т(u).

Однако с помощью этого устройства не могут быть решены обыкновенные дифференциальные уравнения — „= Г(х,О) (2)

40 которые можно рассматривать как важ36 ный класс уравнений с нелинейными

819810 коэффициентами, в частности с коэффициентом P(X,U).

Ограниченные функциональные возMoRHocTH устройства обусловлены недостаточно полным составом его блоков и отсутствием необходимых дополнительных связей, что не позволяет реализовать вычисление нелинейной функции

Ч на каждом К-й итерации не один, а несколько раз используя найденное при данном вычислении . Р(Х,U) в качестве исходного данного для следующего вычис-) ления (Ч (Х,u). Последнее необходимо для реализации широко используемого решения обыкновенных дифференциальных уравнений метода Рунге-Кутта

«U+ — + +. 6

К2 К х4.

К+1 К 6 Э где k„=àX I, X„О ), К = ХЧ(Х„+,U,+ Б)

3 М К вЂ” kÔ а ("+ax u„+y>)

"= Х.+„-) К 1 а также .некоторых модификаций метода

Эйлера.

Целью изобретения является расширение класса решаемых задач. 25

Достигается это тем, что в устройство, содержащее блок ввода, первый и второй регистры, первый сумматор, блок умножения, блок вычисления нелинейного коэффициента, коммутатор, причем выход блока ввода соединен с первым входом блока умножения, второй вход и первый выход которого соединены соответственно с выходом блока вычисления нелинейного коэффициента и первым входом первого сумматора, выход которого соединен с первым входом первого регистра, выход которого соединен с первым входом второго регистра и через коммутатор — с выходом устройства, вторые входы перво- 4О го и второго регистров и первый вход блока вычисления нелинейного коэффициента соединены входом задания начальных условий устройства, третьи входы первого и второго регистров и блока умножения соединены с управляющим входом устройства, вход блока ввода является информационным входом устройства, введен второй сумматор, первый и второй входы которого соеди- 5О нены соответственно с выходом второго регистра и вторым выходом блока умножения, а выход — с вторым входом блокф вычисления нелинейного коэффициентЖ, причем выход первого регистра соединен с вторым входом первого сумматора.

На чертеже представлена структурная схема устройства.

Устройство для решения дифференциальных уравнений содержит первый ре- 60 гистр 1, коммутатор 2, второй регистр 3, второй сумматор 4, блок 5 вычисления нелинейного коэффициента, блок ввода 6, блок умножения 7, пер вый сумматор 8. 65

Входы 9 блока ввода б являются входом устройства, выход 10 коммута-I тора 2 является выходом устройства.

На вход 11 подаются начальные условия, на вход 12 подается управляющий сигнал.

Перечисленные элементы соединены следующим образом. Выход первого регистра 1 подключен к второму входу первого сумматора 8, к входу коммута- тора 2, к первому входу второго регистра 3, соединенного выходом с первым входом второго сумматора 4, подключенного выходом к второму входу блока вычисления нелинейного коэффициента 5, соединенного выходом с вторым входом блока умножения 7, подключенного первым входом к выходу блока ввода 6, вторым выходом к второму входу второго сумматора 4, первым выходом к первому входу первого сумматора.8, соединенного выходом с первым входом первого регистра 1. Вход 11 начальных условий подключен к третьему входу первого регистра 1 и второго регистра 3 и к первому входу блока 5 вычисления нелинейного коэффициента. Вход 12 управляющего сигнала соединен с вторым входом первого 1 и второго 3 регистра и с третьим входом блока умножения.

Первый регистр 1 предназначен для хранения на к-м шаге работы устройства значения UI,, а также промежуточных результатов определения U +„, если они есть. Например, при решении уравнения (2) методом (3) регистр 1 последовательно хранит

К k. 6 К 6 3 К б 3 3

0 U+ — >0+ + >0+ — + — - — у к1 к к К кз

+ + — + — +

k v. К

К 6 3 3 6

Второй регистр 3 служит для хранения на к-м шаге работы устройства при решении обыкновенных дифференциальных уравнений (2) значения 0 к, при решении уравнений в частных производных (1) — значения 0п, т.е. начальных условий соответственно для к-го шага работы устройства или для и-го временного слоя.

Блок 5 вычисления нелинейного коэффициента предназначен для хранения табличной информации о зависимости коэффициента Ч (Х,U) от решения и интерполяции на основе этой информации функции Ч в точку расчета U, коэффициента уравнения (1) или в точку расчета V коэффициента уравнения (2).

При решении уравнения (1) блок умножения 7 служит для вычисления произведений нелинейного коэффициента Ч (U) и линейных коэффициентов разностного уравнения, соответствующего уравнению (1), на зависимые переменные, входящие в разностное уравнение, представляющее собой решения

U „„ получаемые на К-ом шагев данком

81981О

Таким образом, с выхода блока вычисления нелинейного коэффициента 5 значение M (X и, Uz ) поступает на второй вход блока умножения 7, в котором по управляющему сигналу с входа 12, поступающему на третий вход, оно умножается на необходимые коэффициен60

65 и в подключенных к данному через блок ввода 6 соседних устройствах. При решении уравнения (2) методом (3) блок умножения 7 предназначен для. вычислвК1 К2 Kä Kния величин — — посту6 3 3 6 пающих на его первый выход, и величин -, —, к, поступающих на его

К Кг. второй выход, путем умножения (Х,U ) на соответствующие коэффициенты, например, согласно методу (3)

К = — V(XK, „)Второй сумматор 4 предназначен для образования величины U> при решении уравнения (2) методом (-3) путем суммирования значения UK, поступающего l5 из регистра 3 со значениями, поступающими с второго выхода блока умножения 7 так, что, согласно методу (3)

U последовательно принимает значения

0 U +-К1 — U + — К 0 +К 20 ккz >к кз> при которых необходимо рассчитывать нелинейный коэффициент Ч (X,U ).

Первый сумматор 8 служит для образования решения U«<,получаемого на к-м шаге работы устройства путем суммирования произведений, поступающих с первого выхода блока умножения 7.

Блок коммутации предназначен для коммутации выхода устройства с входами соседних устройств для образова ния цифровой сетки при решении дифференцированного уравнения в частных производных (1) или для образования параллельной вычислительной структуры при решении не одного обыкновенного дифференциального уравнения (2), а системы нескольких уравнений.

Работа устройства при решении уравнения (2) методом (3) происходит следующим образом. В регистры 1, 3 - 40 по управляющему сигналу на входе 12 с входа 11 заносятся начальные условия Uo. Кроме того, с входа 11 в блок умножения 7 поступают необходимые коэффициенты, а в блок вычисления нелинейного коэффициента таблич" ная информация с нелинейной зависимости коэффициента 9 (X,U) от решения U, соответствующая точке Х, и включающая в себя значения

U,u (u -V(xo,">

О >>»П> достаточные для вычисления в блоке 5 коэффициента Ю (ХО,Up ) по формуле линейной интерполяции

Е(Х,у,)=%(Xg () ) +(Up О). ты так, что на первом выходе образуется величина f(Xp,U ),,т.е. †-, Ь D 6 а на втором выходе образуется величина <Р(Х,Uo), т.е. ф-. Значение К>поступает на первый вход пер6 ваго сумматора 8, где суммируется с величиной О», постуПающей на второй вход сумматора. Полученная сумма, являющаяся величиной U + †"", поступает с выхода первого сумматора 8 на первый вход первого регистра 1 и записывается в регистр 1. Одновременно по первому входу в блок 5 вычисления нелинейного..коэффициента с входа 11 начальных условий поступает табличная информация нелинейной зависимости Ч от О, соответствующая точке Х â€”, о а. а по второму входу с выхода второго сумматора 4 поступает сумма величин

Up и — -, получаемых соответственно

К .2, с выхода второго регистра 3 и с второго выхода блока умножения 7 на первом и втором входах сумматора 4. Таким образом, на вход блока умножения 7 с выхода блока 5 вычислений нелинейного коз ффициента поступит уже величинами(х+>> —, Ua+ — ") и умножит2. g. ся по управляющему сигналу с шины 12 на соответствующие коэффициенты так, что с первого выхода блока 7 величина у,Хо —, о+,х ) поступит на

М ° аХ V.1 суммирование в первом сумматоре 8 с содержимым первого регистра 1, в который с выхода сумматора 8 запишется значением †.>- -+ . Аналогично

6 на нулевом шаге работы устройства в блоке 5 вычислений нелинейного коэффициента последовательно вычисляются величины Ч(Х -Я, Оо+ ), > (ХО+аХ,0в+Кз), в блоке умножения 7 — по йерыому выходу величины вЂ, —, по второму выК К,1 ходу — величины в, Кз, на первом э сумматоре 8 — велич ны00+ — + — -+ — и

К. К Кз

К1 2. КЪ

6 3

Up+ — - -- - + — +

& 3 6 — U . Таким

1 образом, после нулевого шага работы устройства в первом регистре 1 содержится решение U„, которое по управляющему сигналу с входа 11 перепишется во второй регистр 3, после чего аналогичным образом происходит работа устройства на первом шаге (определяется 0 ) и т.д., на к-том шаге (определяется Ц«, и т.д. до тех пор, пока с шагом дХ не будет пройден заданный диапазон изменения переменной Х.

Работа устройства при решении дифференциального уравнения в частных производных (1) происходит следующим образом. На каждом п-ам временном слое во втором регистре 3 содержится начальное условие 0и, в первом регистре 1 на К-ом шаге работы устройства содержится к-ая итерация решения

U„K По управляющему сигналу с шины 12

1 с второго выхода блока умножения 7 информация не выдается и на второй вход блока 5 вычисления нелинейного коэффициента с выхода второго регист819810

Формула изобретения ра 3, не изменяясь на втором сумматоре 4, ocT eT U„. На основе табличной информации о нелинейной зависимости Ю от U блок 5 вычисляет Ч (0п) путем линейной интерполяции. В блоке умножения 7 9 (Ut„) умножается на ли-. нейные коэФФициенты разностной схемы и на к-ю итерацию решения, имеющуюся в данном и подключенных к данному устройствах, поступающую в блок 7 с выхода блока ввода 6. Первый сумматор 8 суммирует получаемые в блоке 7 произведения, образуя тем самым (К+1)-ую итерацию решения U,y+q, которая записывается в регистр 1.

По отработке устройством заданного числа шагов, определяемого сходимос- 15 тью итерационного процесса, в первом регистре 1 содержится решение 0 +.„ полученное на п-ом временном слбе, которое по управляющему сигналу с входа 12 записывается во второй ре- Щ гистр 3. Работа на последующих временных слоях происходит аналогично.

Введение второго сумматора, подключенного входами к второму регистру и к второму выходу блока умно- 25 жения, а выходом к входу блока вычисления нелинейного коэффициента, и соединение выхода первого регистра с входом первого сумматора выгодно отличает предлагаемое устройство от прототипа, так как позволяет решать важный класс уравнений с нелинейными коэффициентами, обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих применение при расчете строительных сооружений, при проектировании роботов- 3 манипуляторов, при решении навигационных задач, а также во многих других отраслях народного хозяйства, что расширяет функциональные возможности устройства. Это и определяет положи- 4Q тельный эффект устройства.

Устройство для решения дифференциальных уравнений, содержащее блок ввода, первый и второй регистры, первый сумматор, блок умножения, блок вычисления нелинейного коэффициента и коммутатор, причем выход блока ввода соединен с первым входом блока умножения, второй вход и первый выход которого соединены соответственно с выходом блока вычисления нелинейного коэффициента и первым входом первого сумматора, выход которого соединен с первым входом первого регистра, выход которого соединен с первым входом второго регистра и через коммутатор с выходом устройства, вторые входы первого и второго регистров и первый вход блока вычисления нелинейного коэффициента соединены с входом задания начальных условий устройства, третьи входы первого и второго регистров и блока умножения соединены с управляющим входом устройства, вход блока ввода является информационным входом устройства, о т л и ч а ю щ ес я тем, что, с целью расширения класса решаемых задач, оно содержит второй сумматор, первый и второй входы которого соединены соответственно с выходом второго регистра и вторым входом блока вычисления нелинейного коэффициента, причем выход первого регистра соединен с вторым входом первого сумматора.

Источники информации, принятые во внимание при экспертизе

1. Авторское свидетельство СССР

Р 373735, кл. G 06 F 15/32, 1971.

2. Авторское свиДетельство СССР по заявке Р 2469140/24, кл. G 06 F 15/32, 1977 (прототип).

ВНИИПИ Заказ 1331/28

Тираж 745 Подписное

Филиал ППП "Патент", г.ужгород,ул.Проектная,4